Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas.
Resolver una inecuación consiste en encontrar los valores de la/s incógnita/s que satisfacen la desigualdad.
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Son inecuaciones en las que las expresiones algebraicas que aparecen son polinomios de grado 1.
Ejemplos:
\(2x+5 < 8x+18\)
\(5-2x+6\ge 1+9x\)
Los pasos necesarios para resolver una inecuación de primer grado son prácticamente los mismos que se deben seguir para resolver una ecuación de primer grado:
1) Eliminar denominadores (multiplicar ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores)
2) Eliminar paréntesis (aplicar la propiedad distributiva)
3) Transponer términos
4) Reducir términos semejantes
5) Despejar la incógnita
La diferencia principal, además de usar un signo de desigualdad en lugar del signo de igualdad de las ecuaciones, está en el momento de despejar la incógnita, pues hay que tener en cuenta el signo del factor que multiplica a \(x\).
Para entender esto, partamos de una obvia desigualdad numérica: \(4<10\)
- Multiplicando por un número positivo, por ejemplo, \(3\), la desigualdad queda como: \(12<30\)
- Sin embargo, multiplicando por un número negativo, por ejemplo, \(-2\), la desigualdad se convierte en: \(-8>-20\) (ha cambiado el sentido de la desigualdad al multiplicar por un número negativo).
Ejemplos:
a) \(3x>9\)
\(x>3\)
\(x\in(3,+\infty)\)
b) \(-4x \ge 2\)
\(x \le\displaystyle -\frac 2 4=-\frac 1 2\)
\(x\in\left(-\infty,-\displaystyle\frac 1 2\right)\)
c) \(\displaystyle\frac {3x-4} 2+3x<\frac x 4-2x+\displaystyle\frac 1 2\)
\(\displaystyle 2(3x-4)+12x
\(6x-8+12x
\(6x+12x-x+8x<8+2\)
\(25x<10\)
\(x<\displaystyle \frac {10} {25}=\frac 2 5\)
\(x\in\left( -\infty, \displaystyle\frac 2 5 \right)\)
Interpretación geométrica:
Inecuaciones de segundo grado
Son aquellas que pueden expresarse de alguna de las siguientes formas:
\(ax^2+bx+c>0\)
\(ax^2+bx+c \ge 0\)
\(ax^2+bx+c<0\)
\(ax^2+bx+c \le 0\)
Para resolver este tipo de inecuaciones, primero se debe resolver la ecuación \(ax^2+bx+c=0\). Con las soluciones obtenidas se divide la recta real en intervalos o semirrectas y, finalmente, se analiza el signo de la expresión en cada uno de los intervalos o semirrectas para determinar cuáles constituyen la solución de la inecuación.
En los siguientes applets de GeoGebra se interpreta geométricamente el proceso anterior:
Ejemplos: Resuelve las siguientes inecuaciones.
a) \(x^2-5x+4\ge 0\)
Solución a)
\(x^2-5x+4=0\)
\(x=\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 4}}2=\frac{5\pm \sqrt{9} } 2=\begin{array}{ll} earrow \\ \searrow \end{array} \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{5+3}2=4 \\ \displaystyle \frac{5-3}2=1 \end{array}\)
| \((-\infty,1)\) | \((1,4)\) | \((4,+\infty)\) | |
| Signo de \(x^2-5x+4\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
Solución: \(x\in(-\infty,1]\cup[4,+\infty)\)
Observación:
Para determinar el signo de \(x^2-5x+4\) en cada intervalo o semirrecta basta probar con un único valor de ese intervalo o semirrecta, o bien, gráficamente, imaginarnos cómo es la parábola correspondiente a la inecuación.
b) \(-x^2-4x-4<0\)
Solución b)
\(-x^2-4x-4=0\)
\(-(x+2)^2=0\)
\(x=-2\)
| \((-\infty,-2)\) | \((-2,+\infty)\) | |
| Signo de \(-x^2-4x-4\) | \(-\) | \(-\) |
Solución: \(x\in\mathbb R\setminus \{ -2 \}\)
c) \(x^2+4\ge 0\)
Solución c)
\(x^2+4=0\) No tiene solución
\(x^2+4\) toma el mismo signo (positivo) en todo \(\mathbb R\), luego la solución es \(x\in\mathbb R\).
Inecuaciones racionales
Estas inecuaciones pueden resolverse, una vez expresadas de la forma \(\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}>0\) (o con cualquier otro símbolo de desigualdad), analizando los signos del numerador y del denominador.
Ejemplo: Resuelve la inecuación \(\displaystyle \frac{x-4}{x+8}<0\)
Solución
\(x-4=0 \Longrightarrow x=4\)
\(x+8=0 \Longrightarrow x=-8\)
| \((-\infty,-8)\) | \((-8,4)\) | \((4,+\infty)\) | |
| Signo de \(x-4\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| Signo de \(x+8\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) |
| Signo de \(\displaystyle \frac{x-4}{x+8}\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
Solución: \(x\in(-8,4)\)