Situación preliminar
Consideremos la situación preliminar mostrada en el siguiente applet de GeoGebra, en el que se aplica la estrategia de la altura para obtener el lado desconocido de un triángulo.
La expresión a la que se refiere la observación realizada en el applet, tiene la forma del teorema de los senos y el proceso seguido para obtener el valor \(a\) es el que se seguirá a continuación para demostrar de manera general el teorema de los senos.
Teorema de los senos
En un triángulo de lados \(a\), \(b\) y \(c\) y ángulos \(\alpha\), \(\beta\) y \(\gamma\), como se indica en la figura, se verifica la siguiente cadena de igualdades:
\(\displaystyle\frac a {\sin\alpha}=\frac b {\sin\beta}=\frac c {\sin\gamma}\)
Demostración
Demostraremos la igualdad \(\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac b{\sin\beta}\) (cualquier otra igualdad de la cadena se demostraría de forma análoga).
Supondremos además que la altura del triángulo cae dentro del triángulo, es decir, que los ángulos \(\alpha\) y \(\beta\) son agudos.
\(\hspace{1em}\displaystyle\sin\alpha=\frac h b \Longrightarrow h=b\sin\alpha\)
\(\hspace{1em}\displaystyle\sin\beta=\frac h a \Longrightarrow h=a\sin\beta\)
Igualando las expresiones anteriores:
\(\hspace{1em} b\sin\alpha=a\sin\beta\Longrightarrow \displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac b{\sin\beta}\)
Observaciones:
1) La demostración anterior es válida para el caso en el que los ángulos \(\alpha\) y \(\beta\) son agudos. La misma demostración con ligeras modificaciones serviría para el caso \(\alpha\ge 90^\mbox{o}\) ó \(\beta\ge 90^\mbox{o}\).
2) Sólo se ha demostrado una de las igualdades del teorema. Para demostrar cualquiera de las otras igualdades, se puede proceder de forma análoga, como se indicó en la demostración, intercambiando los papeles de los lados entre sí.
3) El teorema de los senos permite calcular tanto lados como ángulos. En el caso de los ángulos hay que tener en cuenta que puede haber dos soluciones matemáticamente posibles, por lo que habría que decidir qué soluciones son válidas en cada situación.
Por ejemplo:
\(\sin\alpha=0.5 \Longrightarrow \alpha=30^\mbox{o}\) ó \(\alpha=180^\mbox{o}-30^\mbox{o}=150^\mbox{o}\)
Vemos que \(\alpha=30^\mbox{o}\) y \(\alpha=150^\mbox{o}\) son soluciones matemáticamente correctas, pero, si por algún motivo, sabemos que el ángulo \(\alpha\) es agudo, habría que descartar la segunda solución.