Definición de las razones trigonométricas
En un triángulo rectángulo \(ABC\) como el que se representa en la figura, se definen las razones trigonométricas seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan) del ángulo \(\alpha\) mediante:
\(\sin\alpha=\displaystyle\frac{\mbox{cateto opuesto}}{\mbox{hipotenusa}}=\frac a c\)
\(\cos\alpha=\displaystyle\frac{\mbox{cateto contiguo}}{\mbox{hipotenusa}}=\frac b c\)
\( an\alpha=\displaystyle\frac{\mbox{cateto opuesto}}{\mbox{cateto contiguo}}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac a b\)
Observación:
Si \(0^\mbox{o}<\alpha<90^\mbox{o}\), entonces:
\(\hspace{2em} 1)\ 0<\sin\alpha<1\)
\(\hspace{2em} 2)\ 0<\cos\alpha<1\)
\(\hspace{2em} 3)\ 0< \tan\alpha\)
1) y 2) son consecuencia de que los catetos son menores que la hipotenusa.
En 3) se da el valor 0 como cota inferior de la tangente, pero no se da cota superior porque la tangente puede hacerse tan grande como se quiera (piensa en ángulos próximos a \(90^\mbox{o}\)).
Identidades
Una vez definidas las razones trigonométricas, podemos demostrar las siguientes identidades:
1) Identidad pitagórica: \(\hspace{1em} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)
Demostración
\(\displaystyle\hspace{1em} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\frac {a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2} \hspace{-0.8cm} \underset{ \begin{array}{c}\uparrow \\ \mbox{T. Pitágoras} \\ a^2+b^2=c^2 \end{array} }{=} \hspace{-0.8cm} \frac{c^2}{c^2}=1\)
2) Relación entre el coseno y la tangente: \(\hspace{1em} \displaystyle \frac 1 {\cos^2\alpha}=1+ an^2\alpha\)
Demostración
\(\displaystyle\hspace{1em} 1+ an^2\alpha=1+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \hspace{-0.8cm} \underset{ \begin{array}{c}\uparrow \\ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \end{array} }{=} \hspace{-0.8cm} \frac 1 {\cos^2\alpha}\)