Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
Seno de la suma de dos ángulos
\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cdot \cos\beta+\cos\alpha\cdot \sin\beta\)
Demostración
Observamos que \(\angle BDE=\alpha\), pues el ángulo \(\angle BDE\) lo forman dos semirrectas que son perpendiculares a las que forman el ángulo \(\alpha\).
\(\sin(\alpha+\beta)=\overline{BC}=\overline{DF}+\overline{DE}\)
En el triángulo \(ABD\): \(\cos\beta=\overline{AD}\)
En el triángulo \(ADF\):
\(\hspace{2em}\sin\alpha=\displaystyle\frac{\overline{DF}}{\overline{AD}} \Longrightarrow \overline{DF}=\sin\alpha\cdot\overline{AD}=\sin\alpha\cdot\cos\beta\)
En el triángulo \(ABD\): \(\sin\beta=\overline{BD}\)
En el triángulo \(ADF\):
\(\hspace{2em}\cos\alpha=\displaystyle\frac{\overline{DE}}{\overline{BD}} \Longrightarrow \overline{DE}=\cos\alpha\cdot\overline{BD}=\cos\alpha\cdot\sin\beta\)
Finalmente, \(\sin(\alpha+\beta)=\overline{DF}+\overline{DE}=\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta\)
Coseno de la suma de dos ángulos
\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta\)
Demostración
\(\cos(\alpha+\beta)=\sin((90^\mbox{o}+\alpha)+\beta)=\)
\(\hspace{2em} =\sin(90^\mbox{o}+\alpha)\cdot \cos\beta+\cos(90^\mbox{o}+\alpha)\cdot\sin\beta=\)
\(\hspace{2em} =\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta\)
Tangente de la suma de dos ángulos
\(\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{ \tan\alpha+ \tan\beta}{1- \tan\alpha\cdot \tan\beta}\)
Demostración
\( \tan(\alpha+\beta)=\displaystyle\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle\frac{\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta}{\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta}=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle\frac{ \displaystyle \frac{\sin\alpha\cdot\cos\beta}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}+\frac{\cos\alpha\cdot\sin\beta}{\cos\alpha\cdot\cos\beta} }{\displaystyle \frac{\cos\alpha\cdot\cos\beta}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}-\frac{\sin\alpha\cdot\sin\beta}{\cos\alpha\cdot\cos\beta} }=\)
\(\hspace{2em}=\displaystyle \frac{ \tan\alpha+ \tan\beta}{1- \tan\alpha\cdot \tan\beta}\)
Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos
Seno de la diferencia de dos ángulos
\(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta-\cos\alpha\cdot\sin\beta\)
Demostración
\(\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha+(-\beta))=\)
\(\hspace{2em} = \sin\alpha\cdot\cos(-\beta)+\cos\alpha\cdot\sin(-\beta)=\)
\(\hspace{2em} = \sin\alpha\cdot\cos\beta-\cos\alpha\cdot\sin\beta\)
Coseno de la diferencia de dos ángulos
\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta\)
Demostración
\(\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha+(-\beta))=\)
\(\hspace{2em} = \cos\alpha\cdot\cos(-\beta)-\sin\alpha\cdot\sin(-\beta)=\)
\(\hspace{2em} = \cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta\)
Tangente de la diferencia de dos ángulos
\( an(\alpha-\beta)=\displaystyle\frac{ an\alpha- an\beta}{1+ an\alpha\cdot an\beta}\)
Demostración
\( an(\alpha-\beta)= an(\alpha+(-\beta)) \)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \frac{ an\alpha+ an(-\beta)}{1- an\alpha\cdot an(-\beta)}=\)
\(\hspace{2em} = \displaystyle \frac { an\alpha- an\beta}{1+ an\alpha\cdot an\beta}\)
EJEMPLOS
Ejemplo 1: Halla las razones trigonométricas de \(75^\mbox{o}\) a partir de las razones de \(45^\mbox{o}\) y \(30^\mbox{o}\).
Solución:
\(\begin{array}{lll} \sin 30^\mbox{o}=1/2 & \cos 30^\mbox{o}=\sqrt 3/2 & an 30^\mbox{o}=\sqrt{3}/3 \\ \sin 45^\mbox{o}=\sqrt 2/2 & \cos 45^\mbox{o}=\sqrt{2}/2 & an 45^\mbox{o}=1 \\ \end{array}\)
\(\sin 75^\mbox{o}=\sin(45^\mbox{o}+30^\mbox{o})=\sin 45^\mbox{o}\cdot\cos 30^\mbox{o}+\cos 45^\mbox{o}\cdot \sin 30^\mbox{o}= \)
\(\hspace{2em} =\displaystyle\frac{\sqrt 2}2\cdot\frac{\sqrt 3}2+\frac{\sqrt2}2\cdot\frac 1 2=\frac{\sqrt 6} 4+\frac{\sqrt2}4=\frac{\sqrt 6+\sqrt 2}4\)
\(\cos 75^\mbox{o}=\cos(45^\mbox{o}+30^\mbox{o})=\cos 45^\mbox{o}\cdot\cos30^\mbox{o}-\sin45^\mbox{o}\cdot\sin 30^\mbox{o}=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle\frac{\sqrt 2}2\cdot\frac{\sqrt 3} 2-\frac{\sqrt 2}2\cdot\frac 1 2=\frac{\sqrt 6}4-\frac{\sqrt 2}4=\frac{\sqrt 6-\sqrt 2} 4\)
\( an 75^\mbox{o}= an(45^\mbox{o}+30^\mbox{o})=\displaystyle\frac{ an45^\mbox{o}+ an30^\mbox{o}}{1- an45^\mbox{o}\cdot an 30^\mbox{o}}=\frac{1+\sqrt 3/3}{1-\sqrt 3 /3}=\frac{3+\sqrt 3}{3-\sqrt 3}=\)
\(\hspace{2em}=\displaystyle\frac{(3+\sqrt 3)^2}{(3-\sqrt 3)\cdot(3+\sqrt 3)}=\frac{9+6\sqrt 3+3}{9-3}=\frac{12+6\sqrt 3} 6=2+\sqrt 3\)
Ejemplo 2: Halla las razones trigonométricas de \(15^\mbox{o}\) a partir de las razones de \(45^\mbox{o}\) y \(30^\mbox{o}\).
Solución:
\(\begin{array}{lll} \sin 30^\mbox{o}=1/2 & \cos 30^\mbox{o}=\sqrt 3/2 & an 30^\mbox{o}=\sqrt{3}/3 \\ \sin 45^\mbox{o}=\sqrt 2/2 & \cos 45^\mbox{o}=\sqrt{2}/2 & an 45^\mbox{o}=1 \\\end{array}\)
\(\sin 15^\mbox{o}=\sin(45^\mbox{o}-30^\mbox{o})=\sin 45^\mbox{o}\cdot\cos 30^\mbox{o}-\cos 45^\mbox{o}\cdot \sin 30^\mbox{o}=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle\frac{\sqrt 2}2\cdot\frac{\sqrt 3}2-\frac{\sqrt2}2\cdot\frac 1 2=\frac{\sqrt 6} 4-\frac{\sqrt2}4=\frac{\sqrt 6-\sqrt 2}4\)
\(\cos 15^\mbox{o}=\cos(45^\mbox{o}-30^\mbox{o})=\cos 45^\mbox{o}\cdot\cos30^\mbox{o}+\sin45^\mbox{o}\cdot\sin 30^\mbox{o}= \)
\(\hspace{2em} =\displaystyle\frac{\sqrt 2}2\cdot\frac{\sqrt 3} 2+\frac{\sqrt 2}2\cdot\frac 1 2=\frac{\sqrt 6}4+\frac{\sqrt 2}4=\frac{\sqrt 6+\sqrt 2} 4\)
\( an 15^\mbox{o}= an(45^\mbox{o}-30^\mbox{o})=\displaystyle\frac{ an45^\mbox{o}- an30^\mbox{o}}{1+ an45^\mbox{o}\cdot an 30^\mbox{o}}=\frac{1-\sqrt 3/3}{1+\sqrt 3 /3}=\frac{3-\sqrt 3}{3+\sqrt 3}=\)
\(\hspace{2em}=\displaystyle\frac{(3-\sqrt 3)^2}{(3+\sqrt 3)\cdot(3-\sqrt 3)}=\frac{9-6\sqrt 3+3}{9-3}=\frac{12-6\sqrt 3} 6=2-\sqrt 3\)
Ejemplo 3: demuestra la siguiente identidad trigonométrica:
\(\hspace{2em} \displaystyle \frac{\sin(\pi/4+\mathit x)-\sin(\pi/4-\mathit x)}{\cos(\pi/4+\mathit x)-\cos(\pi/4-\mathit x)}=-1\)
Solución:
\(\displaystyle\frac{\sin(\pi/4+\mathit x)-\sin(\pi/4-\mathit x)}{\cos(\pi/4+\mathit x)-\cos(\pi/4-\mathit x)}=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle\frac{\sin(\pi/4)\cos\mathit x+\cos(\pi/4)\sin\mathit x-\sin(\pi/4)\cos\mathit x+\cos(\pi/4)\sin\mathit x}
{\cos(\pi/4)\cos\mathit x-\sin(\pi/4)\sin\mathit x-\cos(\pi/4)\cos\mathit x-\sin(\pi/4)\sin\mathit x}=\)
\(\hspace{2em} \displaystyle=\frac{2\cos(\pi/4)\sin\mathit x}{-2\sin(\pi/4)\sin\mathit x}= \)
\(\hspace{2em} =\displaystyle-\frac{1}{ an(\pi/4)}=-1\)
Razones trigonométricas del ángulo doble
1) \(\hspace{1em}\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)
2) \(\hspace{1em}\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)
3) \(\hspace{1em} an 2\alpha=\displaystyle \frac{2 an\alpha}{1- an^2\alpha}\)
Demostración
1) \(\hspace{1em}\sin 2\alpha=\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cdot\cos\alpha+\cos\alpha\cdot\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)
2) \(\hspace{1em}\cos 2\alpha=\cos(\alpha+\alpha)=\cos\alpha\cdot\cos\alpha-\sin\alpha\cdot\sin\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)
3) \(\hspace{1em} an 2\alpha=\displaystyle an(\alpha+\alpha)=\frac{ an\alpha+ an\alpha}{1- an\alpha\cdot an\alpha}=\frac{2 an\alpha}{1- an^2\alpha}\)
Razones trigonométricas del ángulo mitad
1) \(\displaystyle\hspace{1em} \sin^2\frac \alpha 2=\frac{1-\cos \alpha} 2\)
2) \(\displaystyle\hspace{1em} \cos^2\frac \alpha 2=\frac{1+\cos \alpha} 2\)
3) \(\displaystyle\hspace{1em} an^2\frac \alpha 2=\frac{1-\cos \alpha} {1+\cos \alpha}\)
Demostración
1) y 2)
Entendiendo el ángulo \(\alpha\) como el doble del ángulo mitad \(\left(\alpha=2\cdot \displaystyle\frac \alpha 2\right)\) podemos aplicar la fórmula del coseno del ángulo doble y obtener:
\(\hspace{2em} \cos\alpha=\cos \left(2\cdot \displaystyle\frac \alpha 2\right) = \displaystyle\cos^2\frac \alpha 2-\sin^2\frac\alpha 2\)
Sumando y restando esta relación a la identidad pitagórica, aplicada al ángulo \(\alpha/2\), llegamos a:
\(\begin{array}{lll}
& 1=\displaystyle\cos^2\frac\alpha 2+\sin^2\frac \alpha 2\\- & \displaystyle\cos\alpha=\cos^2\frac\alpha 2-\sin^2\frac \alpha 2\\ \hline & \displaystyle 1-\cos\alpha=2\sin^2\frac\alpha 2 \end{array}\hspace{2em}\) \(\begin{array}{lll}& 1=\displaystyle\cos^2\frac\alpha 2+\sin^2\frac \alpha 2\\+ & \displaystyle\cos\alpha=\displaystyle\cos^2\frac\alpha 2-\sin^2\frac \alpha 2\\
\hline & 1+\cos\alpha=2\displaystyle\cos^2\frac\alpha 2 \end{array}\)
Despejando obtenemos:
\(\hspace{2em}\displaystyle\sin^2\frac \alpha 2=\frac{1-\cos\alpha}2\)
\(\hspace{2em}\displaystyle\cos^2\frac \alpha 2=\frac{1+\cos\alpha}2\)
3)
\(\displaystyle an^2\frac\alpha 2=\frac{\displaystyle\sin^2\frac\alpha 2}{\displaystyle\cos^2\frac \alpha 2}= \frac{\displaystyle\frac{1-\cos\alpha}2}{\displaystyle\frac{1+\cos\alpha}2} =\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\)
EJEMPLOS
Ejemplo 4: Halla las razones trigonométricas de \(22.5^\mbox{o}\) y \(90^\mbox{o}\) a partir de las razones de \(45^\mbox{o}\).
\(\sin 45^\mbox{o}=\sqrt 2/2, \hspace{1em} \cos 45^\mbox{o}=\sqrt 2/2, \hspace{1em} an 45^\mbox{o}=1\)
\(\sin 90^\mbox{o}=2\cdot\sin 45^\mbox{o}\cos 45^\mbox{o}=2\cdot\displaystyle\frac{\sqrt 2}2\cdot \frac {\sqrt 2}2=1\)
\(\cos 90^\mbox{o}=\cos^2 45^\mbox{o}-\sin^2 45^\mbox{o}=\left({\sqrt 2}/2\right)^2-\left({\sqrt 2}/2\right)^2=0\)
\( an 90^\mbox{o}= an(2\cdot 45^\mbox{o})=\displaystyle\frac{2 an 45^\mbox{o}}{1- an^2 45^\mbox{o}}=\frac 2 0 \hspace{1em} \mbox{No está definido}\)
\(\sin 22.5^\mbox{o}=\sin (45^\mbox{o}/2)=\sqrt{\displaystyle\frac{1-\cos 45^\mbox{o}}2}=\sqrt{\displaystyle\frac{1-\sqrt 2/2}2}=\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}2\)
\(\cos 22.5^\mbox{o}=\cos (45^\mbox{o}/2)=\sqrt{\displaystyle\frac{1+\cos 45^\mbox{o}}2}=\sqrt{\displaystyle\frac{1+\sqrt 2/2}2}=\displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}2\)
\( an 22.5^\mbox{o}= an(45^\mbox{o}/2)=\sqrt{\displaystyle\frac{1-\cos 45^\mbox{o}}{1+\cos 45^\mbox{o}}}=\sqrt{\displaystyle\frac{1-\sqrt 2/2}{1+\sqrt 2/2}}=\)
\(\hspace{2em} =\sqrt{\displaystyle\frac{2-\sqrt 2}{2+\sqrt 2}}=\sqrt{\displaystyle\frac{6-4\sqrt 2}{2}}=\sqrt{3-2\sqrt 2}\)
Ejemplo 5: Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: \( \hspace{2em} \displaystyle\frac {2\sin\mathit x+\sin 2\mathit x}{4\sin\mathit x}=\cos^2\frac{\mathit x}2\)
\(\displaystyle\frac{2\sin\mathit x+\sin 2\mathit x}{4\sin\mathit x}= \)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \frac{2\sin\mathit x+2\sin\mathit x \cos\mathit x}{4\sin\mathit x}=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle\frac{2\sin \mathit x (1+\cos \mathit x)}{4\sin\mathit x}=\)
\(\hspace{2em} = \displaystyle\frac{1+\cos \mathit x}2=\)
\(\hspace{2em} \displaystyle =\cos^2\frac{\mathit x}2\)