Definición de razones trigonométricas de ángulos entre \(0^\mbox{o}\) y \(360^\mbox{o}\)
Pretendemos ahora generalizar las definiciones de las razones trigonométricas que se han visto para ángulos agudos al caso de ángulos de cualquier valor.
Consideramos un punto \(P=(x,y)\) situado sobre la circunferencia de centro \(O(0,0)\) y radio 1, denominada circunferencia goniométrica. Para el ángulo \(\alpha\) que forma el segmento \(OP\) con el eje \(OX\), definimos nuevamente las razones seno, coseno y tangente mediante:
\(\hspace{2em} \sin\alpha=\mbox{ordenada del punto }P=y\)
\(\hspace{2em} \cos\alpha=\mbox{abscisa del punto }P=x\)
\(\hspace{2em} an\alpha=\displaystyle\frac{\mbox{ordenada del punto }P}{\mbox{abscisa del punto }P}=\frac y x\)
Observamos que esta definición es equivalente a la proporcionada anteriormente para ángulos agudos.
Observamos además que \(\sin \alpha\), \(\cos\alpha\) y \( an\alpha\) coinciden en módulo con la longitud de los segmentos indicados en color rojo.
El signo de las razones trigonométricas, el rango de valores que pueden tomar las mismas, así como los valores concretos para los ángulos \(0^\mbox{o}\), \(90^\mbox{o}\), \(180^\mbox{o}\) y \(270^\mbox{o}\) se muestran a continuación:
Razones trigonométricas de ángulos mayores que \(360^\mbox{o}\) y ángulos negativos
Ya sabemos calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo comprendido entre \(0^\mbox{o}\) y \(360^\mbox{o}\). Nos podemos preguntar ahora cómo definir las razones trigonométricas de ángulos mayores de \(360^\mbox{o}\) o ángulos negativos.
Si a un ángulo \(\alpha\) le sumamos \(360^\mbox{o}\), obtenemos el ángulo \(\alpha+360^\mbox{o}\), que es equivalente a \(\alpha\) en el sentido de que le corresponde un mismo punto \(P\) sobre la circunferencia goniométrica, como puede verse en el siguiente applet de GeoGebra:
Las razones trigonométricas de \(\alpha+360^\mbox{o}\) pueden definirse como las razones trigonométricas de \(\alpha\).
En un caso práctico, dado un ángulo mayor de \(360^\mbox{o}\), por ejemplo \(750^\mbox{o}\), podemos escribir:
\(\hspace{2em} 750^\mbox{o}=30^\mbox{o}+2\cdot 360^\mbox{o}\equiv 30^\mbox{o}\)
Por tanto:
\(\displaystyle\hspace{2em} \sin 750^\mbox{o}=\sin 30^\mbox{o}=\frac 1 2\)
\(\displaystyle\hspace{2em} \cos 750^\mbox{o}=\cos 30^\mbox{o}=\frac {\sqrt{3}} 2\)
\(\displaystyle\hspace{2em} an 750^\mbox{o}= an 30^\mbox{o}=\frac{\sqrt{3}} 3\)
Si tenemos un ángulo \(\alpha\) con \(-360^\mbox{o}<\alpha<0^\mbox{o}\) y le sumamos \(360^\mbox{o}\), obtenemos un ángulo positivo equivalente al ángulo \(\alpha\) en el sentido de que le corresponde el mismo punto sobre la circunferencia goniométrica que al ángulo \(\alpha\), entendiendo éste como un ángulo cuya abertura se mide desde el eje \(OX\) en el sentido de las agujas del reloj, como muestra el siguiente applet de GeoGebra:
Las razones trigonométricas de un ángulo negativo \(\alpha\) coinciden con las razones trigonométricas del ángulo \(\alpha+360^\mbox{o}\).