Halla la ecuación de la circunferencia de radio 5 cuyo centro está en la recta \(2x-y+3=0\) y que pasa por el punto \((1,0)\).
Solución
\(2x-y+3=0 \Longrightarrow y=2x+3\)
El centro de la circunferencia es de la forma \(P=(x_0,2x_0+3)\).
Y la ecuación de la circunferencia:
\((x-x_0)^2+(y-2x_0-3)^2=25\)
Como \((1,0)\) es un punto de la circunferencia, entonces:
\((1-x_0)^2+(-2x_0-3)^2=25\)
\(1-2x_0+x_0^2+4x_0^2+12x_0+9=25\)
\(5x_0^2+10x_0-15=0\)
\(x_0=\displaystyle\frac{-10\pm\sqrt{100-4\cdot 5\cdot (-15)}}{10}=\frac{-10\pm\sqrt{400}}{10}=\begin{array}{l} \nearrow \\ \searrow \end{array} \begin{array} {l}\frac{-10+20}{10}=\frac{10}{10}=1 \\ \frac{-10-20}{10}=-3\end{array}\)
El problema tiene dos soluciones:
- Si \(x_0=1\), \(C_1:(x-1)^2+(y-5)^2=25\)
- Si \(x_0=-3\), \(C_2:(x+3)^2+(y+3)^2=25\)