Dado el lugar geométrico de ecuación \(C : x^2 + y^2 − 4x − 6y + 9 = 0\) determina justificadamente que se trata de una circunferencia y halla \(k\) para que la circunferencia y la recta \(y = 2x + k\) sean tangentes.
Solución
\(x^2+y^2-4x-6y+9=0\)
\(x^2-4x+4-4+y^2-6y+9-9+9=0\)
\((x-2)^2+(y-3)^2-4=0\)
\((x-2)^2+(y-3)^2=4\)
Se trata de una circunferencia con centro \(P=(2,3)\) y radio \(R=2\)
Ecuación general de la recta: \(r: 2x-y+k=0\)
Distancia del centro de la circunferencia a la recta:
\(d(P,r)=\displaystyle \frac {|2\cdot 2-3+k|}{\sqrt{5}}=\frac{1+k}{\sqrt{5}}\)
Para que la recta sea tangente a la circunferencia debe ser \(d(P,r)=2\):
\(\displaystyle \frac{|1+k|}{\sqrt{5}}=2\)
\(|1+k|=2\sqrt{5}\)
Dos posibilidades:
- \(1+k=2\sqrt{5}\Longrightarrow \boxed{k_1=2\sqrt{5}-1}\)
- \(1+k=-2\sqrt{5}\Longrightarrow \boxed{k_2=-2\sqrt{5}-1}\)