Dada una recta \(r\) y una circunferencia con centro \(P\) y radio \(R\), pueden darse las siguientes posibilidades:
1) La recta es exterior a la circunferencia si se cumple que:
\(d(P,r)>R\)
Analíticamente, el sistema formado por la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta no tiene ninguna solución.
2) La recta es tangente a la circunferencia si se cumple que:
\(d(P,r)=R\)
Analíticamente, el sistema formado por la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta tiene una única solución.
3) La recta es secante si se cumple que:
\(d(P,r)<R\)
Analíticamente, el sistema formado por la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta tiene dos soluciones.
Ejemplo: Estudia la posición relativa de las siguientes rectas con respecto a la circunferencia \((x-3)^2+(y+1)^2=4\). Halla los puntos de corte o de tangencia si fuera posible.
a) \(r_1: x+y=5\)
b) \(r_2: 4x+3y=19\)
c) \(r_3: x+y=4\)
Solución a)
a)
Centro: \(P=(3,-1)\)
Radio: \(R=2\)
\(r_1:x+y-5=0\)
Distancia de \(P\) a la recta:
\(d(P,r_1)=\displaystyle \frac {|3-1-5 |}{\sqrt{2}}=\frac 3 {\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}} 2>2=R\)
La recta \(r_1\) es exterior a la circunferencia.
Solución b)
b)
\(r_2: 4x+3y-19=0\)
Distancia de \(P\) a la recta:
\(d(P,r_2)=\displaystyle \frac {|4\cdot 3-3-19 |}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac {10} {5}=2=R\)
La recta \(r_2\) es tangente a la circunferencia.
Para averiguar el punto de tangencia, resolvemos el sistema:
\(\left\{\begin{array}{l} (x-3)^2+(y+1)^2=4 \\ 4x+3y=19 \hspace{2em} \Longrightarrow y=\displaystyle \frac{19-4x} 3 \end{array}\right.\)
\((x-3)^2+\left(\displaystyle \frac{19-4x} 3+1\right)^2=4\)
\((x-3)^2+\left(\displaystyle \frac{22-4x} 3\right)^2=4\)
\(x^2-6x+9+\displaystyle \frac{484-176x+16x^2} 9 =4\)
\(9x^2-54x+81+484-176x+16x^2 =36\)
\(25x^2-230x+529=0\)
\(x=\displaystyle \frac {230\pm\sqrt{230^2-4\cdot 25\cdot 529}} {50}= \frac{230\pm\sqrt{0}}{50}=\frac{230}{50}=\frac {23} 5\)
\(y=\displaystyle \frac{19-4\cdot \frac{23} 5} 3=\frac{\frac{95}{5}-\frac{92}{5}} 3=\frac{\frac 3 5}{3}=\frac 1 5\)
Punto de tangencia: \(\displaystyle \left(\frac{23}5,\frac 1 5\right)\)
Solución c)
c)
\(r_3: x+y-4=0\)
Distancia de \(P\) a la recta:
\(d(P,r_3)=\displaystyle \frac {|3-1-4 |}{\sqrt{2}}=\frac {2} {\sqrt{2}}=\sqrt{2}<2=R\)
La recta \(r_3\) es secante.
Para averiguar el punto de tangencia, resolvemos el sistema:
\(\left\{\begin{array}{l} (x-3)^2+(y+1)^2=4 \\ x+y=4 \hspace{2em} \Longrightarrow y=4-x\end{array}\right.\)
\((x-3)^2+\left(4-x+1\right)^2=4\)
\((x-3)^2+(5-x)^2=4\)
\(x^2-6x+9+25-10x+x^2=4\)
\(2x^2-16x+30=0\)
\(x^2-8x+15=0\)
\(x=\displaystyle \frac {8\pm\sqrt{64-4\cdot 15}} {2}= \frac{8\pm\sqrt{4}}{2}=\begin{array}{c} \nearrow \\ \searrow \end{array}\begin{array}{l} \frac{8+2} 2=5 \\ \frac{8-2}2=3 \end{array}\)
\(x_1=3\), \(y_1=4-3=1\)
\(x_2=5\), \(y_2=4-5=-1\)
Puntos de corte: \((3,1)\) y \((5,-1)\)