Se denomina lugar geométrico al conjunto de puntos que verifican una determinada propiedad.
La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, denominado centro. La distancia de cualquiera de los puntos de la circunferencia al centro se denomina radio.
Si \(P(a,b)\) es el centro de la circunferencia y \(R\) es el radio, un punto genérico \(X(x,y)\) de la circunferencia verifica:
\(d(X,P)=R\)
\(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=R\)
\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\)
Desarrollando la expresión anterior obtenemos:
\(x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=R^2\)
\(x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-R^2=0\)
Así, se llega a la ecuación general de la circunferencia:
\(x^2+y^2+Ax+By+C=0\)
siendo
\(A=-2a\)
\(B=-2b\)
\(C=a^2+b^2-R^2\)
Ejemplo: Halla la ecuación general de la circunferencia con centro en \((1,-4)\) y radio \(2\).
Solución
\((x-1)^2+(y+4)^2=2^2\)
\(x^2-2x+1+y^2+8y+16=4\)
Ecuación de la circunferencia: \(\boxed{x^2+y^2-2x+8y+13=0}\)
Observación:
1) A partir de la ecuación general de una circunferencia podemos obtener el centro y el radio de la circunferencia de dos formas:
a) Obteniendo los valores de \(a\), \(b\) y \(R\) a partir de \(A\), \(B\) y \(C\):
\(A=-2a\) \(\Longrightarrow a=-A/2\)
\(B=-2b\) \(\Longrightarrow b=-B/2\)
\(C=a^2+b^2-R^2\) \(\Longrightarrow R=\sqrt{a^2+b^2-C}\)
b) Completando cuadrados, como se verá en un próximo ejemplo.
2) Para que \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\) sea la ecuación general de una circunferencia, debe cumplirse que:
\(a^2+b^2-C>0\),
siendo \(a=-A/2\) y \(b=-B/2\), luego:
\(\displaystyle\left(\frac A 2 \right)^2+\left(\frac B 2 \right)^2-C>0\)
Ejemplos: Determina si las siguientes ecuaciones corresponden a circunferencias y, en caso afirmativo, halla el centro y el radio.
a) \(x^2+y^2+8x-10y+50=0\)
b) \(x^2+y^2+6x+4y-12=0\)
Solución a)
a) Primera forma:
\(A=8\), \(B=-10\), \(C=50\)
\(\displaystyle \left( \frac A 2\right)^2+\left( \frac B 2\right)^2-C =\frac {64}4+\frac {100}4 -6=16+25-50=-9<0\)
No es una circunferencia.
Segunda forma:
\(x^2+y^2+8x-10y+50=0\)
\(x^2+8x+16-16+y^2-10y+25-25+50=0\)
\((x+4)^2-16+(y-5)^2-25+50=0\)
\((x+4)^2+(y-5)^2+9=0\)
\((x+4)^2+(y-5)^2=-9\)
No es una circunferencia porque el cuadrado del radio debe ser \(-9\), lo cual no es posible.
Solución b)
b) Primera forma:
\(A=6\), \(B=4\), \(C=-12\)
\(a=-A/2=-6/2=-3\)
\(b=-B/2=-4/2=-2\)
\(R=\sqrt{\displaystyle \left( \frac A 2\right)^2+\left( \frac B 2\right)^2-C}=\sqrt{\frac {36}4+\frac {16}4 -12}=\sqrt{25}=5\)
Centro: \(P=(-3,-2)\)
Radio: \(R=5\)
Segunda forma:
\(x^2+y^2+6x+4y-12=0\)
\(x^2+6x+9-9+y^2+4y+4-4-12=0\)
\((x+3)^2-9+(y+2)^2-4-12=0\)
\((x+3)^2+(y+2)^2-25=0\)
\((x+3)^2+(y+2)^2=25\)
Centro: \(P=(-3,-2)\)
Radio: \(R=5\)