Definición: Se define el eje radical de dos circunferencias como el conjunto de puntos que tienen la misma potencia respecto a ambas circunferencias.
Propiedades:
Si \(C_1\) y \(C_2\) son dos circunferencias con centros \(P_1=(x_1,y_1)\) y \(P_2=(x_2,y_2)\) y radios \(R_1\) y \(R_2\) respectivamente, el eje radical verifica las siguientes propiedades:
1) El eje radical es una línea recta perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias.
Demostración
Sea \(X=(x,y)\) es un punto genérico del eje radical.
Potencia respecto a \(C_1\): \(\mathcal P_1=(x-x_1)^2+(y-y_1)^2-R_1^2\)
Potencia respecto a \(C_2\): \(\mathcal P_2=(x-x_2)^2+(y-y_2)^2-R_2^2\)
\((x-x_1)^2+(y-y_1)^2-R_1^2=(x-x_2)^2+(y-y_2)^2-R_2^2\)
\(x^2-2xx_1+x_1^2+y^2-2yy_1+y_1^2-R_1^2=x^2-2xx_2+x_2^2+y^2-2yy_2+y_2^2-R_2^2\)
\(2x(x_2-x_1)+2y(y_2-y_1)=R_1^2-R_2^2+x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2\)
Hemos obtenido la ecuación de una recta cuyo vector normal es \((x_2-x_1,y_2-y_1)\), que coincide con el vector que une los centros de las circunferencias.
Observación:
Si las circunferencias son concéntricas se llega al absurdo \(0=R_1^2-R_2^2\) y, por tanto, no existe el eje radical.
2) Los puntos de intersección de las circunferencias pertenecen al eje radical.
En efecto, si \(X_0=(x_0,y_0)\) es un punto de intersección se tiene que
\(\mathcal P_1=\mathcal P_2=0\)
y, por tanto, \(X_0\) está en el eje radical.
Ejemplo: Halla el eje radical de la circunferencia \(C_1\) con centro en \(P_1=(-2,-1)\) y radio \(R_1=3\) y la circunferencia \(C_2:x^2+y^2-6x-2y+6=0\). Comprueba que el eje radical es perpendicular a la recta que une los dos centros.
Solución
Ecuación de \(C_1\):
\((x+2)^2+(y+1)^2=9\)
\(x^2+4x+4+y^2+2y+1-9=0\)
\(x^2+y^2+4x+2y-4=0\)
Ecuación del eje radical:
\(x^2+y^2+4x+2y-4=x^2+y^2-6x-2y+6\)
\(10x+4y-10=0\)
\(\boxed{5x+2y-5=0}\)
Calculemos el centro de \(C_2\):
\(x^2+y^2-6x-2y+6=0\)
\(x^2-6x+9-9+y^2-2y+1-1+6=0\)
\((x-3)^2+(y-1)^2-4=0\)
\((x-3)^2+(y-1)^2=4\)
El centro de \(C_2\) es \(P_2=(3,1)\).
El vector que une los dos centros es \(\overrightarrow{P_1P_2}=(5,2)\), que coincide con el vector normal del eje radical. Por tanto, el eje radical es perpendicular a la recta que une los centros.