Dada la circunferencia \(C : x^2 + y^2 − 6x + 4y + 11 = 0\) responde a las siguientes cuestiones:
a) Determina el centro y el radio de la circunferencia.
b) Halla las rectas paralelas a la bisectriz del primer cuadrante que sean tangentes a la circunferencia. ¿Cuál es el punto de tangencia?
c) Justifica si el punto \(A = (3, −1)\) es interior o exterior a la circunferencia o pertenece a ella.
Solución
a)
\(x^2+y^2-6x+4y+11=0\)
\(x^2-6x+9-9+y^2+4y+4-4+11=0\)
\((x-3)^2+(y+2)^2-2=0\)
\((x-3)^2+(y+2)^2=2\)
Es una circunferencia con centro \(P=(3,-2)\) y radio \(R=\sqrt{2}\)
b)
Una recta paralela a la bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación \(r:x-y+k=0\)
Distancia del centro de la circunferencia a \(r\):
\(d(P,r)=\displaystyle \frac{|3-(-2)+k|}{\sqrt{2}}=\frac{|5+k|}{\sqrt{2}}\)
Para que la recta sea tangente a la circunferencia debe ser \(d(P,r)=\sqrt{2}\):
\(\displaystyle \frac{|5+k|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
\(|5+k|=2\)
Dos posibilidades:
- \(5+k=2 \Longrightarrow k_1=-3\)
- \(5+k=-2 \Longrightarrow k_2=-7\)
Las rectas buscadas son: \(x-y-3=0\) y \(x-y-7=0\).
Punto de tangencia de la recta \(x-y-3=0\) con la circunferencia:
\(x=y+3\)
\((y+3)^2+y^2-6(y+3)+4y+11=0\)
\(y^2+6y+9+y^2-6y-18+4y+11=0\)
\(2y^2+4y+2=0\)
\(y^2+2y+1=0\)
\((y+1)^2=0\)
\(y=-1\), \(x=-1+3=2\)
Punto de tangencia: \((2,-1)\)
Punto de tangencia de la recta \(x-y-7=0\) con la circunferencia:
\(x=y+7\)
\((y+7)^2+y^2-6(y+7)+4y+11=0\)
\(y^2+14y+49+y^2-6y-42+4y+11=0\)
\(2y^2+12y+18=0\)
\(y^2+6y+9=0\)
\((y+3)^2=0\)
\(y=-3\), \(x=-3+7=4\)
Punto de tangencia: \((4,-3)\)
c)
Potencia del punto \(A\) con respecto a la circunferencia:
\(\mathcal P=3^2 + (-1)^2 − 6\cdot 3 + 4\cdot(-1) + 11=9+1-18-4+11=-1<0\)
Es un punto interior a la circunferencia.