Dado un punto \(Q\) y una circunferencia con centro \(P=(a,b)\) y radio \(R\), pueden darse las siguientes posibilidades:
1) El punto exterior a la circunferencia si se cumple que:
\(d(P,Q)>R\)
2) El punto pertenece a la circunferencia si se cumple que:
\(d(P,Q)=R\)
3) El punto es interior a la circunferencia si se cumple que:
\(d(P,Q)
Definición: Se define la potencia de un punto \(Q\) con respecto a una circunferencia de centro \(P\) y radio \(R\) como:
\(\mathcal P=d^2-R^2\),
siendo \(d=d(P,Q)\).
Observaciones:
1) La posición relativa de un punto y una circunferencia queda determinada por el valor de la potencia:
- \(\mathcal P>0\): punto exterior a la circunferencia.
- \(\mathcal P=0\): punto situado en la circunferencia.
- \(\mathcal P<0\): punto interior a la circunferencia.
2) Si \(Q=(\alpha,\beta)\), la potencia viene dada por:
\(\mathcal P=(\alpha-a)^2+(\beta-b)^2-R^2\)
Teniendo en cuenta que la ecuación general de la circunferencia \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\) proviene de expandir el lado izquierdo de \((x-a)^2+(y-b)^2-R^2=0\), la potencia también puede calcularse mediante:
\(\mathcal P=\alpha^2+\beta^2+A\alpha+B\beta+C\)
Ejemplos: Halla la potencia del punto \(Q=(3,4)\) a las siguientes circunferencias y determina su posición relativa:
a) Circunferencia de centro \((1,2)\) y radio 3.
b) \(C_1:x^2+y^2+3x+5y-10=0\)
c) \(C_2:(x-3)^2+(y+1)^2=25\)
Solución a)
a)
\(\mathcal P=(3-1)^2+(4-2)^2-3^2=4+4-9=-1<0\)
\(Q\) es interior a la circunferencia.
Solución b)
b)
\(\mathcal P=3^2+4^2+3\cdot 3+5\cdot 4-10=9+16+9+20-10=44>0\)
\(Q\) es exterior a la circunferencia.
Solución c)
c)
\(\mathcal P=(3-3)^2+(4+1)^2-25=0\)
\(Q\) está en la circunferencia.