Algunos límites en el infinito conocidos

Es fácil determinar el valor del límite cuando $x$ tiende a $+\infty$ o a $-\infty$ de algunas funciones elementales como las siguientes:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} x=+\infty$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} x=-\infty$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} x^n=+\infty\hspace{1em} \forall n\in\mathbb N$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} x^n=\left\{\begin{array}{ll} +\infty & \mbox{si } n \mbox{ es par}\\ -\infty & \mbox{si } n \mbox{ es impar} \end{array}\right.$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} \sqrt[n] {x}=+\infty \hspace{2em} \forall n\in\mathbb N$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} \sqrt[n] {x}=-\infty \hspace{2em} \mbox{si } n \mbox{ es impar}$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac 1 x=0$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac 1 x=0$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} a^x= \left\{\begin{array}{ll} +\infty & \mbox{si }a>1 \\ 0 & \mbox{si }0<a<1 \end{array}\right. $
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} a^x= \left\{\begin{array}{ll} 0 & \mbox{si }a>1 \\ +\infty & \mbox{si }0<a<1 \end{array}\right. $
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} \log_a x= \left\{ \begin{array}{ll} +\infty & \mbox{si }a>1 \\ -\infty & \mbox{si } 0<a<1 \end{array} \right.$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\arctan x=\frac \pi 2$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\arctan x=-\frac \pi 2$

Observación: para averiguar el valor de esos límites basta con imaginar cómo es la gráfica de cada una de las funciones.

Operaciones con límites de funciones en el infinito

Las mismas propiedades que vimos para el caso de límites en un punto siguen siendo válidas en este caso, cambiando $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0^\pm}$ por $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}$.

A continuación, repetimos la versión resumida de dichas propiedades :

$\hspace{2em} (+\infty)+(+\infty)=+\infty$

$\hspace{2em} (-\infty)+(-\infty)=-\infty$

$\hspace{2em} (+\infty)\cdot(+\infty)=+\infty$

$\hspace{2em} (-\infty)\cdot(-\infty)=+\infty$

$\hspace{2em} (-\infty)\cdot(+\infty)=-\infty$

$\hspace{2em} (+\infty)+L=+\infty$

$\hspace{2em} (-\infty)+L=-\infty$

$\hspace{2em} (+\infty)\cdot L= \left\{\begin{array}{ll} +\infty & \mbox{si } L>0 \\ -\infty & \mbox{si } L<0 \end{array}\right.$

$\hspace{2em} (-\infty)\cdot L= \left\{\begin{array}{ll} -\infty & \mbox{si } L>0 \\ +\infty & \mbox{si } L<0 \end{array}\right.$

$\hspace{2em} \displaystyle\frac{ (+\infty)} L= \left\{\begin{array}{ll} +\infty & \mbox{si } L>0 \\ -\infty & \mbox{si } L<0 \end{array}\right.$

$\hspace{2em} \displaystyle\frac{ (-\infty)} L= \left\{\begin{array}{ll} -\infty & \mbox{si } L>0 \\ +\infty & \mbox{si } L<0 \end{array}\right.$

$\hspace{2em} \displaystyle\frac 1 {\pm\infty}=0$

$\hspace{2em} \displaystyle\frac L {\pm\infty}=0$

$\hspace{2em} \displaystyle\frac L {0^+}= \left\{\begin{array}{ll} +\infty & \mbox{si } L>0 \\ -\infty & \mbox{si } L<0 \end{array}\right.$

$\hspace{2em} \displaystyle\frac L {0^-}= \left\{\begin{array}{ll} -\infty & \mbox{si } L>0 \\ +\infty & \mbox{si } L<0 \end{array}\right.$

Ejemplos:

1) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} (x^2+1)$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} (x^2+1) \hspace{-1.4cm} \underset{ \begin{array}{c}\uparrow \\ \small\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2=+\infty \\ \small\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} 1=1 \end{array}}{ = } \hspace{-1.4cm} +\infty$

2) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} (x^2+1)$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} (x^2+1) \hspace{-1.4cm} \underset{ \begin{array}{c}\uparrow \\ \small\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} x^2=+\infty \\ \small\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} 1=1 \end{array}}{ = } \hspace{-1.4cm} +\infty\(

3) \)\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} (x^3+x)\(

\)\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} (x^3+x) \hspace{-1.4cm} \underset{ \begin{array}{c}\uparrow \\ \small\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} x^3=+\infty \\ \small\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} x=+\infty \end{array}}{ = } \hspace{-1.4cm} +\infty\(

4) \)\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} (x^3+x)\(

\)\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} (x^3+x) \hspace{-1.4cm} \underset{ \begin{array}{c}\uparrow \\ \small\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} x^3=-\infty \\ \small\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} x=-\infty \end{array}}{ = } \hspace{-1.4cm} -\infty\(

5) \)\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} (x^2\cdot\log x)\(

\)\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} (x^2\cdot\log x) \hspace{-1.4cm} \underset{ \begin{array}{c}\uparrow \\ \small\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2=+\infty \\ \small\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} \log x=+\infty \end{array}}{ = } \hspace{-1.4cm} +\infty\(

6) \)\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} (e^x-e^{-x})\(

\)\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} (e^x-e^{-x}) \hspace{-1.4cm} \underset{ \begin{array}{c}\uparrow \\ \small\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} e^x=+\infty \\ \small\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} e^{-x}=0 \end{array}}{ = } \hspace{-1.4cm} +\infty\(

7) \)\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} (e^x-e^{-x})\(

\)\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} (e^x-e^{-x}) \hspace{-1.4cm} \underset{ \begin{array}{c}\uparrow \\ \small\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} e^x=0 \\ \small\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} e^{-x}=+\infty \end{array}}{ = } \hspace{-1.4cm} -\infty\(

8) \)\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} (1+e^{-x})\cdot x^2\(

\)\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} (1+e^{-x})\cdot x^2 \hspace{-1.4cm} \underset{ \begin{array}{c}\uparrow \\ \small\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} (1+e^{-x})=1 \\ \small\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} x^2=+\infty \end{array}}{ = } \hspace{-1.4cm} +\infty$

Cálculo de límites cuando \(x\) tiende a \(+\infty\) o \(-\infty\)