Concepto de continuidad
A nivel intuitivo, una función \(f\) es continua en un intervalo si su gráfica puede realizarse de un solo trazo en ese intervalo.
El trazo de una función se interrumpe cuando se alcanza un punto en el que la función no tiene límite real o su límite no coincide con el valor de la función, lo que motiva la siguiente definición:
Una función \(f\) es continua en \(x=x_0\) si se dan las siguientes condiciones:
1) Existe \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)\)
2) La función está definida en \(x_0\).
3) \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=f(x_0)\)
En las gráficas de la derecha se ve que las funciones \(f_2\), \(f_3\), \(f_4\) y \(f_5\) no cumplen algunas de las condiciones anteriores en un punto, por lo que no son funciones continuas. Sólo la función \(f_1\) lo es.
A continuación se presentan los tipos de discontinuidades pueden aparecer en una función.
Tipos de discontinuidades
Discontinuidad de salto finito
Una función \(f\) tiene una discontinuidad de salto finito en \(x=x_0\) si existen los límites laterales y son finitos, pero son distintos:
\(\hspace{2em} \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0^+} f(x)=L_1 \neq L_2=\lim_{x\rightarrow x_0^-} f(x)\)
Ejemplo:
Discontinuidad evitable
Una función \(f\) tiene una discontinuidad evitable en \(x=x_0\) si se dan las siguientes condiciones:
1) \(f\) tiene límite finito en \(x_0\): \(\hspace{2em} \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=L\)
2) La función o bien no está definida en \(x_0\) o bien toma un valor diferente al del límite (\(f(x_0) \neq L\)).
Ejemplos:
Discontinuidad de salto infinito
Una función \(f\) tiene una discontinuidad de salto infinito en \(x=x_0\) si alguno de los límites laterales en dicho punto es \(+\infty\) o \(-\infty\).
Ejemplo: