Nos ocupamos en este punto del concepto de límite en un punto, que trata de describir el comportamiento de la función en las proximidades de un punto.
Vamos a definir dos tipos de límites:
- Límites reales: la función toma valores cada vez más próximos a cierto valor cuando \(x\) se acerca a un punto.
- Límites infinitos (\(+\infty\) o \(-\infty\) ): la función toma valores tan grandes como se quiera en valor absoluto cuando \(x\) se acerca a un punto.
La manera en la que nos acerquemos al punto al punto en cuestión da lugar a las siguientes variantes:
- Límite lateral por la derecha: nos acercamos a un punto \(x_0\) dando a la variable independiente valores mayores que \(x_0\).
- Límite lateral por la izquierda: nos acercamos a un punto \(x_0\) dando a la variable independiente valores menores que \(x_0\).
- Límite (sin especificar lateralidad): nos acercamos a un punto \(x_0\) dando a la variable independiente valores próximos a \(x_0\) sin importar que sean mayores o menores que \(x_0\).
A continuación, se detallan con ejemplos nueve tipos de límite que pueden considerarse, según lo que se acaba de exponer.
Límites reales
Observaciones
1) El concepto de límite real tiene carácter local: hace referencia al comportamiento de una función en las proximidades de un punto \(x_0\).
2) Dado que, para definir el límite de una función en un punto, \(x\) se aproxima a \(x_0\) sin tomar nunca el valor \(x_0\), el valor de la función \(f(x_0)\) no influye en el valor del límite. Puede ocurrir incluso que la función no esté definida en \(x_0\), pero exista el límite cuando \(x\) tiende a \(x_0\).
3) La condición necesaria y suficiente para que una función tenga límite en \(x=x_0\) es que existan los límites laterales y éstos sean iguales:
\(\hspace{1em} \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=L \iff \lim_{x\rightarrow x_0^+} f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-} f(x)=L\)
4) El proceso seguido en los ejemplos anteriores, que ha permitido estimar el valor del límite de una función en un punto, no es adecuado para el cálculo formal de límites. Se ha recurrido a él únicamente con fines didácticos para dar una idea intuitiva del concepto de límite. Como curiosidad, la definición formal de límite es la siguiente:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=L \iff\) para cada \(\epsilon>0\) existe \(\delta>0\) tal que, si \(x\in\mbox{Dom}(f)\) con \(0<|x-x_0|<\delta\), entonces \(|f(x)-L|<\epsilon\)
Aunque esta definición puede usarse para calcular límites de manera formal, este curso recurriremos a otras técnicas, como las que se basan en la continuidad de las funciones involucradas.
Límites infinitos
Observaciones
1) El concepto de límite \(+\infty\) o \(-\infty\) sigue teniendo carácter local.
2) El valor que tome la función en \(x_0\) no influye en que la función tenga o no límite \(+\infty\) o \(-\infty\). En los ejemplos anteriores, la función ni siquiera estaba definida en \(x_0\).
3) La condición necesaria y suficiente para que una función tenga límite \(+\infty\) o \(-\infty\) en \(x=x_0\) es que existan los límites laterales y éstos sean iguales a \(+\infty\) o \(-\infty\):
\(\hspace{1em} \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=+\infty \iff \lim_{x\rightarrow x_0^+} f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-} f(x)=+\infty\)
\(\hspace{1em} \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=-\infty \iff \lim_{x\rightarrow x_0^+} f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-} f(x)=-\infty\)
4) El calculo formal de límites infinitos requiere el empleo de técnicas que van más allá de dar valores a \(x\) para valores de \(y\), como se ha hecho en los ejemplos anteriores. Como curiosidad, la definición formal de límite \(+\infty\) es la siguiente:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=+\infty \iff\) para cada \(M>0\) existe \(\delta>0\) tal que, si \(x\in\mbox{Dom}(f)\) con \(0<|x-x_0|<\delta\), entonces \(f(x)>M\)