Dada una función racional cuya expresión analítica es de la forma \(\hspace{1em} f(x)=\displaystyle\frac{p(x)}{q(x)},\hspace{1em}\) siendo \(p\) y \(q\) polinomios, nos planteamos cómo calcular

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{p(x)}{q(x)}\)

en el caso en que \(p(x_0)=q(x_0)=0\).

Aparece una indeterminación del tipo \(\displaystyle\frac 0 0\), que se puede resolver mediante la factorización de los polinomios \(p\) y \(q\), como se ve en los siguientes ejemplos:

Analizando el caso general, el hecho de que en una función racional \(f(x)=\displaystyle\frac{p(x)}{q(x)}\) aparezca una indeterminación del tipo \(\displaystyle \frac 0 0\) implica que \(f\) puede expresarse como:

\(f(x)=\displaystyle\frac{p(x)}{q(x)}=\displaystyle\frac{(x-x_0)\cdot p_0(x)}{(x-x_0)\cdot q_0(x)}\hspace{1em}\) si \(x \neq x_0\)

para ciertos polinomios \(p_0\) y \(q_0\) cuyos grados son, respectivamente, menores que los de \(p\) y \(q\).

Pueden darse tres posibilidades:

1) \(q_0(x_0) eq 0:\hspace{1em}  \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=\frac{p_0(x_0)}{q_0(x_0)}\) 

2) \(p_0(x_0) \neq 0\) y \(q_0(x_0)=0:\hspace{1em}\) aparecen límites infinitos.

3) \(p_0(x_0) = 0\) y \(q_0(x_0)=0:\hspace{1em}\) aparece de nuevo una indeterminación que puede resolverse factorizando \(p_0\) y \(q_0\).

Ya hemos calculado límites en el infinito de polinomios, similares al siguiente:

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty} (x^3+3x^2)=+\infty\)

En este caso no hay problemas para determinar el límite porque tenemos una situación del tipo \((+\infty)+(+\infty)=+\infty\)

El cálculo se complicaría si hubiera un cambios de signo, que nos lleven a una indeteminación del tipo \(\infty-\infty\), como ocurre en el siguiente límite:

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty} (x^3-3x^2)\)

 Para resolver la indeterminación, podemos extraer factor común \(x^3\):

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty} (x^3-3x^2)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x^3\cdot\left(1- \frac 3 x\right)\right)  \hspace{-1.5cm} \underset{ \begin{array}{cc} \uparrow \\ \small \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} x^3=+\infty \\ \small \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \left(1-\frac 3 x\right)=1  \end{array} }{=}   \hspace{-1.5cm}    +\infty\)

En general, dada una función polinómica de la forma \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0\), se tiene que:

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty} (a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0)=\)

\(\hspace{2em}\displaystyle=\lim_{x\rightarrow+\infty} \left( x^n\cdot \left(a_n+\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+\frac{a_2x^2}{x^{n-2}}+\frac{a_1x}{x^{n-1}}+\frac{a_0}{x^n}\right) \right)=\)

\(\hspace{2em}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty} a_nx^n\)

pues \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty} \left(a_n+\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+\frac{a_2x^2}{x^{n-2}}+\frac{a_1x}{x^{n-1}}+\frac{a_0}{x^n}\right)=a_n\)

Observaciones

1) En la práctica no es necesario deducir explícitamente el valor del límite mediante la factorización que se ha indicado. Como vemos en el resultado general, podemos extraer conclusiones fijándonos únicamente en el término de mayor grado del polinomio.

2) Lo anteriormente expuesto es válido para el cálculo de límites de polinomios en los que \(x\) tiende a \(+\infty\), aparezcan o no indeterminaciones del tipo \(\infty-\infty\). También es válido para el cálculo de límites de polinomios en los que \(x\) tiende a \(-\infty\).

Ejemplos

Al calcular el límite cuando \(x\) tiende a \(+\infty\) o \(-\infty\) de una función racional, aparece una indeterminación del tipo \(\displaystyle \frac \infty \infty\). Pueden darse tres situaciones, dependiendo de los grados del numerador y del denominador. Las vemos a continuación con los siguientes ejemplos introductorios:

En general, si \)f\( es una función racional con expresión analítica dada por:

\)\displaystyle f(x)=\frac{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_2x^2+b_1x+b_0}=\(

siendo \)m,n\in\mathbb N,\hspace{1em}\( \)a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_n\in\mathbb R\( con \)a_m eq 0\( y \)b_n eq 0\(, teniendo en cuenta que \)f\( puede expresarse como

\)\displaystyle f(x)=\frac{x^m\left(a_m+\frac{a_{m-1}}x+\cdots+\frac{a_2}{x^{m-2}}+\frac{a_1}{x^{m-1}}+\frac{a_0}{x^m}  \right)} {x^n\left(b_n+\frac{b_{n-1}}x+\cdots+\frac{b_2}{x^{n-2}}+\frac{b_1}{x^{n-1}}+\frac{b_0}{x^n}  \right)}\(,

puede obtenerse lo siguiente:

\)\displaystyle \lim_{\mathit x\rightarrow +\infty} \mathit f(\mathit x)=\lim_{\mathit x\rightarrow +\infty} \frac{\mathit a_\mathit m\mathit x^\mathit m}{\mathit b_\mathit n\mathit x^\mathit n}=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \mbox{si }\mathit m<\mathit n \\ \displaystyle\frac{\mathit a_\mathit m}{\mathit b_\mathit n} & \mbox{si }\mathit m=\mathit n \\ +\infty & \mbox{si }\mathit m>\mathit n \mbox{ y } {\mathit a_\mathit m}/{ \mathit b_\mathit n}>0 \\ -\infty & \mbox{si }\mathit m>\mathit n \mbox{ y } {\mathit a_\mathit m}/{ \mathit b_\mathit n}<0 \\ \end{array} \right.\(

\)\displaystyle\lim_{\mathit x\rightarrow -\infty} \mathit f(\mathit x)=\lim_{\mathit x\rightarrow -\infty} \frac{\mathit a_\mathit m\mathit x^\mathit m}{\mathit b_\mathit n\mathit x^\mathit n}
=\left\{\begin{array}{ll}
0 & \mbox{si }\mathit m<\mathit n \\  \displaystyle \frac{\mathit a_\mathit m}{\mathit b_\mathit n} & \mbox{si }\mathit m=\mathit n \\
+\infty & \mbox{si }\mathit m>\mathit n \mbox{ y } {\mathit a_\mathit m}/{ \mathit b_\mathit n}>0 \mbox{ y } \mathit m-\mathit n \mbox{ es par }\\
+\infty & \mbox{si }\mathit m>\mathit n \mbox{ y } {\mathit a_\mathit m}/{ \mathit b_\mathit n}<0 \mbox{ y } \mathit m-\mathit n \mbox{ es impar }\\
-\infty & \mbox{si }\mathit m>\mathit n \mbox{ y } {\mathit a_\mathit m}/{ \mathit b_\mathit n}<0 \mbox{ y } \mathit m-\mathit n \mbox{ es par }\\
-\infty & \mbox{si }\mathit m>\mathit n \mbox{ y } {\mathit a_\mathit m}/{ \mathit b_\mathit n}>0 \mbox{ y } \mathit m-\mathit n \mbox{ es impar }\\
\end{array}\right.$

Observaciones

1) En la práctica, para determinar el valor del límite de una función racional cuando \(x\) tiende a \(+\infty\) o \(-\infty\), no es necesario escribir el proceso seguido en los ejemplos introductorios, con los que sólo se ha pretendido llegar a un resultado de manera razonada. Podemos aplicar el resultado general directamente.

2) Tanto en el resultado general como en los ejemplos introductorios vemos que el valor del límite sólo depende de los términos principales del numerador y del denominador:

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\pm\infty} f(x)=\lim_{x\rightarrow\pm\infty} \frac{a_mx^m}{b_nx^n}\)

3) Para discernir si un límite es \(+\infty\) o \(-\infty\) no hace falta aplicar el resultado general al pie de la letra. Es más sencillo razonar cada caso concreto.

4) En resumidas cuentas hemos obtenido lo siguiente:

\(\bullet\) Si el grado del numerador es igual al grado del denominador:

El límite es el cociente de los coeficientes principales del numerador y del denominador.

\(\bullet\) Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador:

El límite es 0.

\(\bullet\) Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador:

El límite es \(+\infty\) o \(-\infty\)

Algunos ejemplos: