Si sabemos que una función es continua en \(x=x_0\), podemos calcular fácilmente el límite cuando \(x\) tiende a \(x_0\) a partir de la definición de continuidad:

\(\hspace{2em} \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=f(x_0)\)

Para calcular límites siguiendo esta idea, nos basaremos en el siguiente resultado (sin demostración):

Las funciones elementales son continuas en aquellos puntos donde están definidas.

así como en las siguientes propiedades:

• La suma de funciones continuas es una función continua.
• El producto de funciones continuas es una función continua.
• El cociente de funciones continuas es una función continua en los puntos en los que no se anula el denominador.
• La composición de funciones continuas es una función continua.

Observa que calcular límites de funciones continuas consiste simplemente en hallar el valor de la función en \(x_0\).

A continuación, algunos ejemplos en GeoGebra. Todas las funciones que aparecen son continuas debido a las propiedades anteriores.

Observaciones

1) Desde el concepto de límite hasta el punto en el que estamos, se ha seguido el siguiente esquema:

Observa que el cálculo de límites se apoya en el concepto de continuidad, que a su vez se basa en el concepto de límite. Aunque pueda parecer enrevesado considerar esta secuencia, abordar el cálculo de límites directamente, sin pasar por la continuidad, requeriría utilizar la definición formal de límite, que tiene poco sentido práctico. Realmente, el esfuerzo que habría que hacer para aplicar la definición formal de límite es comparable al necesario para probar que las funciones elementales son continuas, pero este resultado nos viene ya dado (no lo vamos a probar este curso) y facilita el proceso.

2) Si una función no es continua en un punto, no podemos, en principio, aplicar el esquema planteado para el cálculo de límites. En un caso general, siempre podría aplicarse la definición formal de límite para probar que existe el límite y averiguar su valor. Sin embargo, como este curso vamos a trabajar con funciones definidas a partir de funciones elementales, muchas veces ocurre que, aunque la función objeto de estudio no es continua, ésta coincide con una función elemental en las proximidades de un punto, lo cual nos permite calcular límites siguiendo el esquema.

Aunque más adelante nos ocuparemos de estos casos con bastante detalle, veremos ahora este ejemplo sencillo:

Ejemplo:  calcula \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac {x^2}x\)

La función \(f(x)=\displaystyle \frac {x^2}x\) claramente no es continua en \(x=0\)  ya que ni siquiera está definida en dicho punto.

No obstante, observamos que

\(\hspace{2em} f(x)=\displaystyle\frac{x^2}x=x\hspace{1em}\) si \(\hspace{1em} x eq 0\)

Por tanto, en las proximidades de \(x=0\), la función \(f\) coincide con la función elemental \(y=x\), que es continua. Luego:

\(\hspace{2em} \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac {x^2}x=\lim_{x\rightarrow 0} x=0\)

Nos planteamos ahora averiguar qué límites de funciones pueden ser \(+\infty\) o \(-\infty\).

Una posibilidad son las funciones logarítmicas. Por ejemplo, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+} \log_2 x=-\infty\).

Otra posibilidad es la función tangente:

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow (k\pi+\pi/2)^-} an x=+\infty \hspace{2em} \forall k\in\mathbb Z\)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow (k\pi-\pi/2)^+} an x=-\infty \hspace{2em} \forall k\in\mathbb Z\)

En particular, con \(k=0\):

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow (\pi/2)^-} an x=+\infty\)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow (-\pi/2)^+} an x=-\infty\)

También nos han surgido límites infinitos en las funciones de proporcionalidad inversa:

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac k x=\left\{\begin{array}{ll}+\infty &\mbox{si }k>0 \\ -\infty &\mbox{si }k<0\end{array}\right. \hspace{2em} \forall k\in\mathbb R\setminus\{ 0 \}\)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-} \frac k x=\left\{\begin{array}{ll}-\infty &\mbox{si }k>0 \\ +\infty &\mbox{si }k<0\end{array}\right. \hspace{2em} \forall k\in\mathbb R\setminus\{ 0 \}\)

En general, podemos obtener límites infinitos al calcular un límite de la forma:

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} \frac 1 {f(x)}\), siendo \(f\) una función que cumple \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=0\).

A nivel intuitivo, los inversos de cantidades que tienden a cero, se hacen tan grandes como se quiera (en valor absoluto), por lo que el límite planteado puede ser \(+\infty\) o \(-\infty\).

Concretamente, puede demostrarse lo siguiente:

• Si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=0\hspace{1em}\) y \(\hspace{1em} f(x)>0\) en un entorno de \(x_0\), entonces \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} \frac 1 {f(x)}=+\infty\)
• Si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=0\hspace{1em}\) y \(\hspace{1em} f(x)<0\) en un entorno de \(x_0\), entonces \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} \frac 1 {f(x)}=-\infty\)

Observaciones:

1) Pueden demostrarse resultados análogos a los anteriores en el caso en que \(x\rightarrow x_0^+\) y \(x\rightarrow x_0^-\).

2) Pueden obtenerse límites infinitos de muchas más maneras. En el próximo punto (operaciones con límites), se verán más ejemplos de límites infinitos basados en operaciones con funciones como las consideradas en este punto.

A  continuación, algunos ejemplos:

En numerosas ocasiones podemos calcular el límite de una función obtenida a partir de operaciones básicas con otras funciones, de las que conocemos sus límites en un punto, aplicando propiedades como las siguientes:

1) Si \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=L\)  y  \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=M\), entonces:

\(\hspace{2em} \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)+g(x))=\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)+\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=L+M\)

\(\hspace{2em} \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)\cdot\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=L\cdot M\)

\(\hspace{2em}\) Si \(M eq 0\), \(\hspace{1em} \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} \frac {f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)}{\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)}=\frac{L}M\)

Ejemplos:

2) Si \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=+\infty\)  y  \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=+\infty\), entonces:

\(\hspace{2em} \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)+g(x))=+\infty\) 

\(\hspace{2em} \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)\cdot g(x))=+\infty\)

Ejemplos:

3) Si \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=-\infty\)  y  \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=-\infty\), entonces:

\(\hspace{2em} \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)+g(x))=-\infty\) 

\(\hspace{2em} \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)\cdot g(x))=+\infty\)

Ejemplos:

4) Si \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=+\infty\)  y  \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=-\infty\), entonces:

\(\hspace{2em} \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)\cdot g(x))=-\infty\)

Ejemplo:

5) Si \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=+\infty\)  y  \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=L eq 0\), entonces:

\(\hspace{2em} \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)+g(x))=+\infty\) 

\(\hspace{2em} \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)\cdot g(x))=\left\{ \begin{array}{ll} +\infty & \mbox{si } L>0 \\ -\infty & \mbox{si } L<0  \end{array} \right.\)

Ejemplos:

6) Si \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=-\infty\)  y  \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=L eq 0\), entonces:

\(\hspace{2em} \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)+g(x))=-\infty\) 

\(\hspace{2em} \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)\cdot g(x))=\left\{ \begin{array}{ll} -\infty & \mbox{si } L>0 \\ +\infty & \mbox{si } L<0  \end{array} \right .\)

Ejemplos:

7) Si \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} |f(x)|=+\infty\) entonces \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} \frac 1 {f(x)}=0\)

Ejemplo:

Observación: pueden escribirse propiedades análogas a las anteriores cuando \(x\rightarrow x_0^+\) y \(x\rightarrow x_0^-\), como ya se ha hecho en algunos de los ejemplos.

De forma resumida, las propiedades anteriores y alguna más pueden escribirse informalmente de la siguiente manera:

\(\hspace{2em} (+\infty)+(+\infty)=+\infty\)

\(\hspace{2em} (-\infty)+(-\infty)=-\infty\)

\(\hspace{2em} (+\infty)\cdot(+\infty)=+\infty\)

\(\hspace{2em} (-\infty)\cdot(-\infty)=+\infty\)

\(\hspace{2em} (-\infty)\cdot(+\infty)=-\infty\)

\(\hspace{2em} (+\infty)+L=+\infty\)

\(\hspace{2em} (-\infty)+L=-\infty\)

\(\hspace{2em} (+\infty)\cdot L=  \left\{\begin{array}{ll}      +\infty & \mbox{si }  L>0   \\   -\infty & \mbox{si } L<0     \end{array}\right.\)

\(\hspace{2em} (-\infty)\cdot L=  \left\{\begin{array}{ll}      -\infty & \mbox{si }  L>0   \\   +\infty & \mbox{si } L<0     \end{array}\right.\)

\(\hspace{2em} \displaystyle\frac{ (+\infty)} L=  \left\{\begin{array}{ll}      +\infty & \mbox{si }  L>0   \\   -\infty & \mbox{si } L<0     \end{array}\right.\)

\(\hspace{2em} \displaystyle\frac{ (-\infty)} L=  \left\{\begin{array}{ll}      -\infty & \mbox{si }  L>0   \\   +\infty & \mbox{si } L<0     \end{array}\right.\)

\(\hspace{2em} \displaystyle\frac 1 {\pm\infty}=0\)

\(\hspace{2em} \displaystyle\frac L {\pm\infty}=0\)

\(\hspace{2em} \displaystyle\frac L {0^+}= \left\{\begin{array}{ll}      +\infty & \mbox{si }  L>0   \\   -\infty & \mbox{si } L<0     \end{array}\right.\)

\(\hspace{2em} \displaystyle\frac L {0^-}= \left\{\begin{array}{ll}      -\infty & \mbox{si }  L>0   \\   +\infty & \mbox{si } L<0     \end{array}\right.\)

Con bastante frecuencia aparecen límites en los que hay que aplicar la última propiedad. Ésta viene a decir que el límite de una función en un punto obtenida como el cociente de dos funciones, una con límite \(L\) y otra con límite 0, puede ser \(+\infty\) o \(-\infty\). Para discernir entre un signo u otro hay que realizar un análisis especifico de cada situación concreta.

Veamos varios ejemplos: