Una función \(f\) tiene como asíntota vertical a la recta \(x=x_0\) si se da alguna de las siguientes condiciones:

• \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0^+} f(x)\) es \(+\infty\) o \(-\infty\).
• \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0^-} f(x)\) es \(+\infty\) o \(-\infty\).

Veamos el siguiente ejemplo:

Autoría: JAL

Una función \(f\) tiene como asíntota horizontal a la recta \(y=y_0\) si se da alguna de las siguientes condiciones:

• \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=y_0\)
• \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=y_0\)

Observaciones:

1) \(f(x)-y_0\) representa la distancia (con signo) de un punto de la gráfica a la recta horizontal \(y=y_0\). Para conocer la posición de la gráfica con respecto a la asíntota horizontal, basta con estudiar el signo de \(f(x)-y_0\) para valores de \(x\) lo suficientemente grandes en valor absoluto.

2) Según se ha definido, sólo es necesario que uno de los límites de la definición sea real para que una función tenga asíntota horizontal. Por tanto, dependiendo de cómo sea la función, puede ocurrir:

• que la función tenga asíntota horizontal cuando \(x\) tiende a \(+\infty\) pero no cuando \(x\) tiende a \(-\infty\).
• que la función tenga asíntota horizontal cuando \(x\) tiende a \(-\infty\) pero no cuando \(x\) tiende a \(+\infty\).
• que la función tenga dos asíntotas horizontales distintas.
• que la función tenga la misma asíntota horizontal cuando \(x\) tiende a \(-\infty\) y cuando \(x\) tiende a \(+\infty\).
• que la función no tenga asíntotas horizontales.

Veamos el siguiente ejemplo:

Autoría: JAL

Observación:

En el caso de una función racional \(\displaystyle f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\), donde \(p\) y \(q\) son polinomios, pueden darse tres situaciones:

1) Si grado(\(p(x)\)) < grado(\(q(x)\)) \(\longrightarrow\) \(y=0\) es una asíntota horizontal

2) Si grado(\(p(x)\)) = grado(\(q(x)\)) \(\longrightarrow\) Hay una asíntotal horizontal de la forma \(y=y_0 \neq 0\)

3) Si grado(\(p(x)\)) > grado(\(q(x)\)) \(\longrightarrow\) No hay asíntota horizontal

Una función \(f\) tiene como asíntota oblicua a la recta \(y=mx+n\)   (\(m eq 0\))  si se da alguna de las siguientes condiciones:

• \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} (f(x)-mx-n)=0\)
• \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} (f(x)-mx-n)=0\)

Equivalentemente, la recta \(y=mx+n\) es una asíntota oblicua de \(f\) si se verifica:

\(\hspace{2em} \displaystyle m=\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{f(x)}x\)

\(\hspace{2em} \displaystyle n=\lim_{x\rightarrow+\infty} (f(x)-mx)\)

(o bien tomando límites cuando \(x\) tiende a \(-\infty\))

Observaciones:

1) \(f(x)-mx-n\) representa la distancia (con signo) que hay desde un punto de la gráfica de la función a un punto de la recta \(y=mx+n\) situado en su misma vertical, como se ilustra en la siguiente construcción de GeoGebra:

Autoría: JAL

Que alguno de los límites indicados en la definición valga cero, significa que las distancias \(f(x)-mx-n\) son cada vez más pequeñas  y, por tanto, los puntos de la gráfica de la función están cada vez más cerca de la recta \(y=mx+n\).

Para averiguar la posición de la gráfica de la función con respecto a la asíntota oblicua, se debe estudiar el signo de \(f(x)-mx-n\) para valores de \(x\) lo suficientemente grandes en valor absoluto.

2) Según se ha definido, sólo es necesario que uno de los límites de la definición sea cero para que una función tenga asíntota oblicua. Por tanto, dependiendo de cómo sea la función, puede ocurrir:

• que la función tenga asíntota oblicua cuando \(x\) tiende a \(+\infty\) pero no cuando \(x\) tiende a \(-\infty\).
• que la función tenga asíntota oblicua cuando \(x\) tiende a \(-\infty\) pero no cuando \(x\) tiende a \(+\infty\).
• que la función tenga dos asíntotas oblicuas distintas.
• que la función tenga una misma asíntota oblicua cuando \(x\) tiende a \(-\infty\) y cuando \(x\) tiende a \(+\infty\).
• que la función no tenga asíntotas oblicuas.

3) Si una función \(f\) puede expresarse como

\(\hspace{2em} f(x)=mx+n+R(x)\),

siendo \(R(x)\) una función que cumple \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow \pm\infty} R(x)=0\), entonces \(y=mx+n\) es una asíntota oblicua de \(f\), pues este caso

\(\hspace{2em}\displaystyle\lim_{x\rightarrow \pm\infty} (f(x)-mx-n)\)=\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow \pm\infty} R(x)=0\)

Esto es lo que sucede con las funciones  racionales cuando el grado del numerador supera en una unidad al grado del denominador, como se ve en el siguiente ejemplo:

Autoría: JAL