Una función es una relación entre dos variables \(x\) e \(y\) de tal manera que a cada valor de la variable \(x\) le corresponde un único valor de la variable \(y\).

\(x\) es la variable independiente, que toma valores en un conjunto numérico.

\(y\) es la variable dependiente, que toma el valores que dependen de \(x\).

Si la función se llama \(f\), la relación entre \(x\) e \(y\) se expresa mediante \(y=f(x)\).

Dominio de la función:

Es el conjunto sobre el que toma valores la variable \(x\).

Se denota como \(\mbox{Dom}(f)\).

Recorrido o imagen de la función:

Es el conjunto de valores que toma la variable \(y\).

Se denota como \(\mbox{Im}(f)\).

\(\hspace{2em} \mbox{Im}(f)=\{f(x): x\in\mbox{Dom}(f)   \}\)

Ejemplos:

Con una función podemos trabajar principalmente de tres formas distintas: con su expresión analítica, con tablas de valores o con su gráfica.

Expresión analítica

Consiste en una fórmula que permite calcular los valores de la variable dependiente a partir de los valores de la variable independiente.

Ejemplo: \(f(x)=x^2\)

Según la expresión analítica, el valor \(2\) de la variable independiente se relaciona con el valor \(2^2=4\) de la variable independiente.

Se expresa como \(f(2)=4\).

Tabla de valores

Es una representación que muestra la relación entre algunos valores de las variables.

Ejemplo: a partir de la expresión analítica del ejemplo anterior, podemos construir la siguiente tabla:

\(\hspace{2em} \begin{array}{|c|c|} \hline x & \ y \ \\ \hline -2 & 4 \\ -1 &  1 \\ 0 &  0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ \hline  \end{array}\)

Representación gráfica

Es una representación en los ejes cartesianos de los pares \((x,f(x))\) con \(x\in\mbox{Dom}(f)\).

Suele realizarse con la ayuda de una tabla de valores, teniendo en cuenta, además, las características del tipo de función que se esté analizando.

Ejemplo: representar gráficamente la función \(f(x)=x^2\).

A partir de la tabla de valores previa, obtenemos la siguiente gráfica:

Determinación del dominio de una función

El dominio de una función puede venir determinado en la propia definición de la función.

Ejemplo: \(f:[-2,2]\longrightarrow \mathbb R, \hspace{1em} f(x)=x^2\)

\(\hspace{2em} \mbox{Dom}(f)=[-2,2]\)

En caso de que no se especifique el dominio, entenderemos que éste es el conjunto más amplio posible, que podrá verse restringido en las siguientes situaciones:

1) Cuando la expresión analítica de la función no tenga sentido para algunos valores de la variable independiente.

Ejemplos:

a) \(f(x)=\displaystyle \frac 1 {x-2}\)

\(\hspace{2em} \mbox{Dom}(f)=\mathbb R\setminus\{ 2 \}\)

b) \(g(x)=\sqrt{x-2}\)

\(\hspace{2em} \mbox{Dom}(g)=[2,+\infty)\)

2) Cuando existen valores de la variable independiente que carecen de sentido en el contexto en el que aparece la función.

Ejemplo: si \(x\) representa el lado de un cuadrado, el área del cuadrado viene dado por la función \(A(x)=x^2\).

Aunque la expresión analítica de la función tiene sentido en todo \(\mathbb R\), el contexto en el que se usa la función obliga a restrigir el dominio a:

\(\hspace{2em} \mbox{Dom}(A)=(0,+\infty)\)

Determinación del dominio y el recorrido de una función a partir de su gráfica

Si disponemos de la gráfica de una función, podemos determinar su dominio y recorrido teniendo en cuenta lo siguiente:

• El dominio se obtiene proyectando sobre el eje de abscisas cada uno de los puntos de la gráfica de la función.
• El recorrido se obtiene proyectando sobre el eje de ordenadas cada uno de los puntos de la gráfica de la función.

Ejemplo:

Autoría: JAL