Funciones exponenciales y logarítmicas

Las funciones exponenciales tienen una expresión analítica de la forma:

\(\hspace{2em} f(x)=a^x\hspace{1em}\) con \(a>0\hspace{1em}\) y \(\hspace{1em} a\cancel{=} 1\).

Características de la función exponencial:

• \(\mbox{Dom}(f)=\mathbb R\)
• \(\mbox{Im}(f)=(0,+\infty)\)
• Crecimiento:
  • Si \(a>1\), la función es creciente.
    \(a^x\) toma valores tan próximos a cero como se quiera para valores negativos de \(x\), grandes en valor absoluto (\(y=0\) es una asíntota).
  • Si \(0\(a^x\) toma valores tan próximos a cero como se quiera para valores positivos grandes de \(x\) (\(y=0\) es una asíntota).
• Su gráfica pasa por \((0,1)\) y \((1,a)\).
• Es una función convexa.

Las funciones logarítmicas tienen una expresión analítica de la forma:

\(\hspace{2em} f(x)=\mbox{log}_a x\hspace{1em}\) con \(a>0\hspace{1em}\) y \(\hspace{1em} a\cancel{=} 1\).

Características de la función logarítmica:

• \(\mbox{Dom}(f)=(0,+\infty)\)
• \(\mbox{Im}(f)=\mathbb R\)
• Crecimiento:
  • Si \(a>1\), la función es creciente y cóncava.
    \(\log_a x\) toma valores negativos, tan grandes como se quiera en valor absoluto, para valores de \(x\) próximos a 0 (\(x=0\) es una asíntota).
  • Si \(0\(\log_a x\) toma valores positivos tan grandes como se quiera para valores de \(x\) próximos a 0 (\(x=0\) es una asíntota).
• Su gráfica pasa por \((1,0)\) y \((a,1)\).

Las gráficas de \(y=a^x\) e \(y=\log_a x\) son simétricas con respecto a la recta \(y=x\), lo cual es consecuencia de que la función exponencial y la función logarítmica son inversas. Esto significa que lo que hace una función, lo deshace la otra, como se aprecia con el siguiente ejemplo:

La función exponencial \(y=2^x\) asigna al 4 el valor 16:

\(2^4=16\)

La función logarítmica \(y=\log_2 x\) asigna al 16 el valor 4:

\(\log_2 16=4\)

Así, \((4,16)\) es un punto de la gráfica de la función exponencial y \((16,4)\) es un punto de la gráfica de la función logarítmica.