Una función es creciente en un intervalo \((a,b)\) si, para cualquier par de números \(x_1,x_2\in(a,b)\) con \(x_1 < x_2\), se tiene que \(f(x_1) < f(x_2)\).
Una función es decreciente en un intervalo \((a,b)\) si, para cualquier par de números \(x_1,x_2\in(a,b)\) con \(x_1 < x_2\), se tiene que \(f(x_1) > f(x_2)\).
Estudiar la monotonía de una función consiste en analizar en qué intervalos la función es creciente o decreciente.
Un punto \((x_0,f(x_0))\) es un máximo relativo o local de una función \(f\) si \(f(x_0)\ge f(x)\) en un entorno de \(x_0\).
Un punto \((x_0,f(x_0)\) es un mínimo relativo o local de una función \(f\) si \(f(x_0)\le f(x)\) en un entorno de \(x_0\).
Observación:
Si \((x_0,f(x_0))\) es un máximo relativo de una función continua, la función pasa de creciente a decreciente en \(x=x_0\).
Si \((x_0,f(x_0))\) es un mínimo relativo de una función continua, la función pasa de decreciente a creciente en \(x=x_0\).
Los máximos y los mínimos relativos de una función también se denominan extremos relativos.
Ejemplo: Para la función cuya gráfica se muestra a continuación, determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos.
Solución
Intervalos de crecimiento:
\((-7,-6)\), \((-2,2)\), \((6,7)\)
Intervalos de decrecimiento:
\((-6,-2)\), \((2,6)\)
Máximos relativos: \((-6,12)\), \((2,8)\)
Mínimos relativos: \((-2,-8)\), \((6,-12)\)