Se define el ángulo que forman dos rectas \(r\) y \(s\) como el menor ángulo que pueden formar un vector director de \(r\) y un vector director de \(s\).
Si \(\vec d_r\) y \(\vec d_s\) son dos vectores directores de \(r\) y \(s\) respectivamente, el ángulo \(\alpha\) que forman las rectas \(r\) y \(s\) verifica:
\(\hspace{2em}\cos\alpha=|\cos(\widehat{ \vec d_r,\vec d_s}) |=\displaystyle\frac{|\vec d_r\cdot\vec d_s|}{|\vec d_r| |\vec d_s|} \)
Observaciones
1) El ángulo que forman dos rectas está comprendido entre \(0^\mbox{o}\) y \(90^\mbox{o}\). El valor absoluto que aparece en la fórmula para hallar \(\cos\alpha\) equivale a cambiar el sentido de alguno de los vectores directores de las rectas en caso de que su producto escalar sea negativo, es decir, cuando forman un ángulo obtuso.
2) El ángulo también puede calcularse a partir de los vectores normales de las rectas, utilizando una fórmula similar:
\(\hspace{2em} \cos \alpha=|\cos(\widehat{\vec n_r,\vec n_s}) |=\displaystyle \frac{|\vec n_r\cdot \vec n_s|}{|\vec n_r||\vec n_s|}\)
Si \(m_r\) y \(m_s\) son las pendientes de las rectas \(r\) y \(s\), respectivamente, también puede obtenerse el ángulo que forman las rectas a partir de la siguiente fórmula:
\(\hspace{2em} an\alpha=\displaystyle\frac{|m_r-m_s|}{|1+m_r\cdot m_s |}\)
Demostración
Vectores directores: \(\vec d_{ r}=(1, m_{ r}), \hspace{1em} \vec d_{ s}=(1, m_{ s})\)
\(\cos\alpha=\displaystyle\frac{|(1, m_{ r})\cdot (1, m_{ s})|}{|(1, m_{ r})|\cdot|(1, m_{ s})|}=\frac{|1+m_r\cdot m_s|}{\sqrt{1+m_r^2}\cdot\sqrt{1+m_s^2}}\)
\(\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\displaystyle\frac{(1+\mathit m_{\mathit r}\cdot\mathit m_{\mathit s})^2 }{(1+\mathit m_{\mathit r}^2)\cdot (1+\mathit m_{\mathit s}^2)} }=\)
\(\hspace{2em} =\sqrt{\displaystyle\frac{(1+\mathit m_{\mathit r}^2)\cdot (1+\mathit m_{\mathit s}^2)-(1+\mathit m_{\mathit r}\cdot\mathit m_{\mathit s})^2 }{(1+\mathit m_{\mathit r}^2)\cdot (1+\mathit m_{\mathit s}^2) }}=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle\frac{\sqrt{ 1+\mathit m_{\mathit s}^2+\mathit m_{\mathit r}^2+\mathit m_{\mathit r}^2\cdot\mathit m_{\mathit s}^2-(1+2\mathit m_{\mathit r}\cdot \mathit m_{\mathit s}+\mathit m_{\mathit r}^2\cdot\mathit m_{\mathit s}^2 )}}{\sqrt{1+\mathit m_{\mathit r}^2}\cdot\sqrt{1+\mathit m_{\mathit s}^2} }\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle\frac{\sqrt{\mathit m_{\mathit r}^2 -2\mathit m_{\mathit r}\mathit m_{\mathit s}+\mathit m_{\mathit s}^2 }} {\sqrt{1+\mathit m_{\mathit r}^2}\cdot\sqrt{1+\mathit m_{\mathit s}^2} }\)
\(\hspace{2em}=\displaystyle\frac{\sqrt{(\mathit m_{\mathit r}-\mathit m_{\mathit s})^2}}{\sqrt{1+\mathit m_{\mathit r}^2}\cdot\sqrt{1+\mathit m_{\mathit s}^2} }= \frac{|\mathit m_{\mathit r}-\mathit m_{\mathit s} |}{\sqrt{1+\mathit m_{\mathit r}^2}\cdot\sqrt{1+\mathit m_{\mathit s}^2} }\)
\( an \alpha=\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{|\mathit m_{\mathit r}-\mathit m_{\mathit s} |}{|1+\mathit m_{\mathit r}\cdot\mathit m_{\mathit s}|}\)
Observación
Otra forma de probar la fórmula anterior es relacionando el ángulo \(\alpha\) con los ángulos \(\alpha_r\) y \(\alpha_s\) que forman las rectas \(r\) y \(s\), respectivamente, con el eje \(OX\).
El ángulo \(|\alpha_r-\alpha_s|\) coincide con \(\alpha\) o \(180^\mbox{o}-\alpha\). Por tanto, usando la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos, obtenemos:
\(\hspace{2em} an\alpha= an|\alpha_r-\alpha_s|=\displaystyle\frac{| an\alpha_r- an\alpha_s |}{|1+ an\alpha_r\cdot an\alpha_s |}=\frac{|m_r-m_s|}{|1+m_r\cdot m_s|}\)
