Las ecuaciones de la recta son expresiones que permiten obtener los puntos de una recta o determinar si un punto pertenece o no a ella. Hay varios tipos de ecuaciones de la recta, que se muestran a continuación.
Ecuación vectorial
Una recta queda determinada por un punto y una dirección.
\(\hspace{2em} P\longrightarrow \) Punto de la recta
\(\hspace{2em} \vec d \longrightarrow \) Vector director de la recta
Para cualquier punto \(X=(x,y)\) de la recta, puede escribirse:
\(\hspace{2em} \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PX}\)
Dado que \(\overrightarrow{PX}\) tiene la misma dirección que \(\vec d\), puede escribirse \(\overrightarrow{PX}=t\cdot\vec d\) para cierto \(t\in\mathbb R\).
Finalmente, la ecuación vectorial queda como:
\(\hspace{2em} \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t\cdot\vec d\)
o, en coordenadas:
\(\hspace{2em} (x,y)=(x_P,y_P)+t\cdot(d_x,d_y)\)
siendo \(t\in\mathbb R\) un parámetro.
Ecuación paramétrica
Igualando coordenadas en la ecuación vectorial, llegamos a la ecuación paramétrica:
\(\hspace{2em}\left\{\begin{array}{l}x=x_P+t\cdot d_x \\y=y_P+t\cdot d_y \end{array}\right.\)
Observaciones:
1) Las ecuaciones vectorial y paramétrica no son únicas. Pueden obtenerse otras considerando otros puntos o vectores directores de la recta.
2) Ambas ecuaciones (vectorial y paramétrica) permiten obtener un punto de la recta sin más que dando algún valor al parámetro \(t\).
Por ejemplo, para la ecuación \((x,y)=(2,1)+t\cdot(3,4)\), dando a \(t\) el valor 2, obtenemos el punto:
\(\hspace{2em} (x,y)=(2,1)+2\cdot(3,4)=(8,9)\)
Ecuación continua
Despejando \(t\) en las ecuaciones paramétricas, obtenemos:
\(\left\{\begin{array}{l} x=x_P+t\cdot d_x \longrightarrow t=\displaystyle\frac{x-x_P} {d_x}\\ y=y_P+t\cdot d_y \longrightarrow t=\displaystyle\frac{y-y_P} {d_y} \end{array}\right.\)
Igualando las expresiones obtenidas para \(t\), llegamos a la ecuación continua:
\(\displaystyle\frac{x-x_P} {d_x}=\frac{y-y_P} {d_y}\)
Observaciones
1) La ecuación continua tampoco es única por los mismos motivos que la vectorial y la paramétrica.
2) Si \(d_x=0\) o \(d_y=0\) la ecuación continua carece de sentido matemático (división por cero). Su significado es, en este caso, únicamente simbólico.
3) La ecuación continua expresa que los vectores \(\overrightarrow{PX}\) y \(\vec d\) tienen coordenadas proporcionales y, por tanto, son paralelos.
A continuación se proponen un par de ejercicios para trabajar con las ecuaciones vectorial, paramétrica y continua de la recta.
Ecuación punto-pendiente
Dado un punto \(P=(x_P,y_P)\) de una recta y un vector director \(\vec d=(d_x,d_y)\), de la ecuación continua \(\displaystyle \frac{x-x_P}{d_x}=\frac{y-y_P}{d_y}\) se obtiene:
\(\hspace{2em} y-y_P=\displaystyle \frac{d_y}{d_x}(x-x_P)\)
Haciendo \(m=\displaystyle\frac{d_y}{d_x}\), llegamos a la ecuación punto-pendiente:
\(y=y_P+m(x-x_P)\)
A \(m\) se le llama pendiente de la recta y representa la variación de la coordenada \(y\) por cada unidad que varía la coordenada \(x\).
Observaciones
1) El valor de \(m\) no depende del vector director considerado.
2) Si conocemos la pendiente \(m\) de una recta, entonces \((1,m)\) es un vector director.
3) \(m= an\alpha\), siendo \(\alpha\) el ángulo que forma la recta con el eje \(OX\).
Ecuación explícita
Desarrollando la ecuación punto pendiente \(y=y_P+m(x-x_P)\) obtenemos
\(\hspace{2em} y=mx+y_P-mx_P\)
Llamando \(n\) a \(y_P-mx_P\) llegamos a la ecuación explícita:
\(\hspace{2em} y=mx+n\)
donde \(m\) es la pendiente de la recta y \(n\), que se denomina ordenada en el origen, es la ordenada del punto de la recta cuya ordenada vale \(0\), es decir, la ordenada del punto de corte con el eje \(Y\).
Observaciones
1) La ecuación explícita es única.
2) La recta pasa por \((0,n)\).
3) Variar \(n\) traslada la recta verticalmente y variar \(m\) modifica su inclinación.
4) Las rectas verticales no tienen ecuación explícita ni punto pendiente.
Ecuación general o implícita
A partir de la ecuación continua \(\displaystyle \frac{x-x_P}{d_x}=\frac{y-y_P}{d_y}\) se obtiene:
\(\hspace{2em} d_y(x-x_P)=d_x(y-y_P)\)
\(\hspace{2em} d_yx-d_yx_P=d_xy-d_xy_P\)
\(\hspace{2em} d_yx-d_xy+d_xy_P-d_yx_P=0\)
Haciendo \(A=d_y\), \(B=-d_x\) y \(C=d_xy_P-d_yx_P\) obtenemos la ecuación general o implícita de la recta:
\(\hspace{2em} Ax+By+C=0\)
Observaciones
1) La ecuación implícita no es única. Multiplicarla por cualquier valor no nulo lleva a otra ecuación equivalente.
2) \((A,B)=(d_y,-d_x)\perp (d_x,d_y)=\vec d\)
El vector \((A,B)\) es perpendicular al vector director \(\vec d\) de la recta. Es un vector normal.
3) Si se conoce un punto \(P=(x_P,y_P)\) de la recta y un vector normal \(\vec n=(A,B)\), puede obtenerse la ecuación general de la recta teniendo en cuenta que, para cualquier punto \(X=(x,y)\) de ella, se verifica:
\(\hspace{2em} \overrightarrow{PX}\cdot \vec n=0\)
En efecto:
\(\hspace{2em} (x-x_P,y-y_P)\cdot (A,B)=0\)
\(\hspace{2em} A(x-x_P)+B(y-y_P)=0\)
\(\hspace{2em} Ax+By\underbrace{-Ax_P-By_P}_{C}=0\)
\(\hspace{2em} Ax+By+C=0\)
4) Al variar \(A\) y \(B\) en \(Ax+By+C=0\) varía el vector normal y, en consecuencia, se modifica la dirección de la recta.
5) Al variar \(C\) la recta se desplaza manteniendo su dirección.
6) Si \(A=0\), entonces la ecuación es \(By+C=0\), de donde \(y=-C/B\), es decir, se trata de una recta horizontal.
7) Si \(B=0\), entonces la ecuación es \(Ax+C=0\), de donde \(x=-C/A\), es decir, se trata de una recta vertical.