Dado un vector \(\vec w=(a,b)\), cuyas coordenadas están referidas a una base \(\mathcal B(\vec u_1,\vec u_2)\), queremos calcular cuáles son las coordenadas de ese mismo vector con respecto a otra base \(\mathcal B(\vec e_1,\vec e_2)\).
El siguiente applet de GeoGebra muestra de forma gráfica lo que se pretende.
El proceso a seguir se describe a continuación:
Supongamos que conocemos las coordenadas de \(\vec e_1\) y \(\vec e_2\) en la base \(\mathcal B(\vec u_1,\vec u_2)\), que son:
\(\vec e_1=(x_1,y_1)\)
\(\vec e_2=(x_2,y_2)\)
Las coordenadas de \(\vec w\) en la base \(\mathcal B(\vec e_1,\vec e_2)\) son los escalares \(\alpha\) y \(\beta\) que multiplican a \(\vec e_1\) y \(\vec e_2\) cuando \(\vec w\) se expresa como combinación lineal de \(\vec e_1\) y \(\vec e_2\):
\(\hspace{1em} \vec w=\alpha\vec e_1+\beta\vec e_2\)
Expresándolo en coordenadas:
\(\hspace{1em} (a,b)=\alpha (x_1,y_1)+\beta(x_2,y_2)\)
Igualando la primera y la segunda coordenada de los vectores de la igualdad anterior, se llega al sistema:
\(\left\{\begin{array}{l} a=\alpha x_1+\beta x_2 \\ b=\alpha y_1+\beta y_2 \end{array}\right.\)
El sistema puede resolverse en las variables \(\alpha\) y \(\beta\) y \(\vec w=(\alpha,\beta)\) serían las coordenadas buscadas.
El siguiente applet de GeoGebra muestra un ejemplo muy completo en el que se desarrolla este proceso, entre otras cuestiones.