Concepto de sistema de referencia
Sistema de referencia
Un sistema de referencia es un conjunto \(\mathcal R=\{O;\vec e_1,\vec e_2 \}\) formado por un punto \(O\) del plano y dos vectores \(\vec e_1\) y \(\vec e_2\) que forman base.
Observación:
Normalmente, los sistemas de referencia emplean una base \(\mathcal B(\vec i,\vec j)\) ortonormal o canónica. Si no se especifica lo contrario, supondremos que se da esta circunstancia.
Vector de posición de un punto \(P\)
Es el vector con origen en \(O\) y extremo \(P\) (vector \(\overrightarrow{OP}\)).
Coordenadas de un punto \(P\)
Se definen las coordenadas de un punto \(P\) como las coordenadas de su vector de posición \(\overrightarrow{OP}\).
\(\hspace{2em} \overrightarrow{OP}=(x,y) \hspace{1em}\longrightarrow\hspace{1em} P=(x,y)\)
Coordenadas del vector que une dos puntos
Dados dos puntos \(P=(x_P,y_P)\) y \(Q=(x_Q,y_Q)\), las coordenadas del vector \(\overrightarrow {PQ}\) son \(\overrightarrow {PQ}=(x_Q-x_P,y_Q-y_P)\).
Demostración
El vector de posición \(\overrightarrow{OQ}\) puede obtenerse mediante la suma:
\(\hspace{2em} \overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}\),
de donde obtenemos:
\(\hspace{2em} \overrightarrow{PQ}= \overrightarrow{OQ}- \overrightarrow{OP}=\)
\(\hspace{2em} \hspace{2em} =(x_Q,y_Q)-(x_P,y_P)=\)
\(\hspace{2em} \hspace{2em} =(x_Q-x_P,y_Q-y_P)\)
Ejemplo:
Dados los puntos \(P=(-2,1)\) y \(Q=(3,2)\), halla las coordenadas del vector \(\overrightarrow{PQ}\).
\(\overrightarrow{PQ}=(3-(-2),2-1)=(5,1)\)
Puntos alineados
Tres puntos no coincidentes \(P=(x_P,y_P)\), \(Q=(x_Q,y_Q)\) y \(R=(x_R,y_R)\) están alineados si los vectores \(\overrightarrow {PQ}=(x_Q-x_P,y_Q-y_P)\) y \(\overrightarrow {QR}=(x_R-x_Q,y_R-y_Q)\) son paralelos, es decir, existe \(k\in\mathbb R\) tal que \(\overrightarrow {PQ}=k\overrightarrow {QR}\).
Observaciones:
1) Si las coordenadas de \(\overrightarrow{PQ}\) o \(\overrightarrow{QR}\) son no nulas, puede escribirse la siguiente condición para comprobar que los puntos están alineados:
\(\hspace{2em}\displaystyle \frac{x_R-x_Q}{x_Q-x_P}=\frac{y_R-y_Q}{y_Q-y_P}\)
2) Si alguna de las coordenadas de \(\overrightarrow{PQ}\) o \(\overrightarrow{QR}\) es cero, la fórmula anterior puede no tener sentido. Para este caso la única posibilidad de alineación es que los puntos estén en una recta vertical u horizontal, lo cual es de comprobación inmediata.
A continuación se muestran varios ejemplos.
Punto medio de un segmento
Dados dos puntos \(P=(x_P,y_P)\) y \(Q=(x_Q,y_Q)\), las coordenadas del punto medio del segmento \(\overline{PQ}\) vienen dadas por:
\(\hspace{2em} M=\displaystyle\left(\frac{x_P+x_Q}2,\frac{y_P+y_Q}2 \right)\)
Demostración
Según la figura, el vector de posición del punto medio \(M\) es:
\( \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\displaystyle\frac 1 2 \overrightarrow{PQ}=\)
\(\hspace{2em} =(x_P,y_P)+\displaystyle \frac 1 2 (x_Q-x_P,y_Q-y_P)=\)
\( \hspace{2em} =\displaystyle\left (x_P+\frac 1 2(x_Q-x_P),y_P+\frac 1 2(y_Q-y_P) \right)=\)
\(\hspace{2em} = \displaystyle \left(\frac {2x_P+x_Q-x_P}2,\frac{2y_P+y_Q-y_P} 2 \right)=\)
\(\hspace{2em}=\displaystyle\left(\frac{x_P+x_Q}2, \frac{y_P+y_Q}2 \right)\)
Punto simétrico de un punto con respecto a otro
En el siguiente applet se muestran un par de estrategias que pueden seguirse para obtener el punto simétrico de un punto con respecto a otro.