Se define el haz de rectas con centro \(P=(x_P,y_P)\) como el conjunto de todas las rectas que pasan por \(P\).
Ecuación del haz:
\(\hspace{2em} {A(x-x_P)+B(y-y_P)=0}\hspace{2em} \) siendo \(A eq 0\) ó \(B eq 0\)
Observaciones
1) La ecuación del haz se obtiene imponiendo que el vector \((A,B)\) sea perpendicular al vector \(\overrightarrow{PX}\), siendo \(X=(x,y)\) un punto genérico de una recta del haz. En efecto:
\(\hspace{2em} \overrightarrow{PX}=(x-x_P,y-y_P)\)
\(\hspace{2em} (A,B)\cdot \overrightarrow{PX}=0 \Longrightarrow A(x-x_P)+B(y-y_P)=0\)
Observa que \((A,B)\) puede tener cualquier dirección, lo que permite obtener cualquier recta del haz.
2) \(A\) y \(B\) son dos parámetros que hay que fijar para obtener una de las rectas del haz. Por ejemplo:
\(\hspace{2em} A=1, \ B=0\longrightarrow x=x_P \hspace{2em} \) (recta vertical)
\(\hspace{2em} A=0, \ B=1\longrightarrow y=y_P \hspace{2em} \) (recta horizontal)
Ejemplo: Halla la recta del haz de centro \(P=(-2,1)\) que pase por \(Q=(-3,-1)\).
\(\hspace{2em}\)Ecuación del haz: \(A(x+2)+B(y-1)=0\)
\(\hspace{2em}\)Para que pase por \(Q\):
\(\hspace{2em}\) \(x=-3\), \(y=-1\rightarrow -A-2B=0 \Longrightarrow A=-2B\)
\(\hspace{2em}\)Dándole a \(B\), por ejemplo, el valor 1, tenemos: \(B=1\), \(A=-2\)
\(\hspace{2em}\)Y la ecuación de la recta buscada es:
\(\hspace{2em}\) \(-2(x+2)+(y-1)=0\)
\(\hspace{2em}\) \(\boxed{-2x+y-5=0}\)
3) Como ya se ha dicho, \(A\) y \(B\) son parámetros que pueden tomar cualquier valor. Si fijamos uno de ellos y variamos el otro, por ejemplo, haciendo \(A=-m\) y \(B=1\), siendo \(m\in\mathbb R\) un número cualquiera, obtenemos:
\(\hspace{2em}-m(x-x_P)+y-y_P=0\Longrightarrow y=y_P+m(x-x_P)\),
que es la ecuación punto pendiente.
Podemos considerar esta ecuación también como la ecuación del haz, con la única salvedad de que no se está incluyendo a la recta vertical \(x=x_P\), que hay que considerarla aparte.
Ejemplo: Halla la recta del haz de centro \(P=(-2,1)\) que pase por \(Q=(-3,-1)\).
\(\hspace{2em}\) Pendiente de la recta buscada: \(m=\displaystyle\frac{-1-1}{-3+2}=2\)
\(\hspace{2em} \)Ecuación de la recta: \(y=1+2(x+2)\)
\(\hspace{2em} \boxed{y=2x+5}\)
\(\hspace{2em} \) que es la misma que la obtenida anteriormente con otro procedimiento.
4) La ecuación del haz \(A(x-x_P)+B(y-y_P)=0\) combina las ecuaciones \(x=x_P\) e \(y=y_P\), que corresponden a dos rectas del haz con distinta dirección (una recta vertical y una horizontal).
Si \(a_1x+b_1y+c_1=0\hspace{1em}\) y \(\hspace{1em} a_2x+b_2y+c_2=0\) son dos rectas del haz con distinta dirección, entonces la ecuación del haz también puede expresarse como:
\(\hspace{2em} A(a_1x+b_1y+c_1)+B(a_2x+b_2y+c_2)=0\)