Concepto de base
Observaciones previas
Dados dos vectores del plano \(\vec u \) y \(\vec v\) no nulos y con distintas direcciones, se tiene lo siguiente:
1) Todo vector del plano puede expresarse como combinación lineal de ellos.
2) La combinación lineal es única.
Base
Una base es un conjunto de dos vectores \(\vec u\) y \(\vec v\) no nulos y con distinta dirección.
Se designa como \(\mathcal B(\vec u,\vec v)\).
Algunos tipos de bases:
- Una base es ortogonal si sus vectores son perpendiculares.
- Una base es ortonormal si sus vectores son perpendiculares y unitarios (módulo 1).
Coordenadas de un vector
Dada una base \(\mathcal B(\vec u,\vec v)\), sabemos que todo vector \(\vec w\) puede expresarse de forma única como combinación lineal de los vectores de la base:
\(\hspace{2em} \vec w=a\vec u+b\vec v\) para ciertos \(a,b\in\mathbb R\)
Se definen las coordenadas del vector \(\vec w\) en la base \(\mathcal B(\vec u,\vec v)\) como el par \((a,b)\).
\(\hspace{2em} \vec w\) puede expresarse como \(\vec w=(a,b)\) o bien \(\vec w(a,b)\).
Ejemplo: coordenadas de los vectores de la base.
\(\hspace{2em} \vec u=1\cdot \vec u+0\cdot\vec v=(1,0)\)
\(\hspace{2em} \vec v=0\cdot \vec u+1\cdot \vec v=(0,1)\)
Interpretación geométrica de las coordenadas:
A partir de los vectores \(\vec u\) y \(\vec v\), puede construirse una rejilla como se muestra en el siguiente applet de GeoGebra. Las coordenadas de un vector \(\vec w\) pueden interpretarse como el número de cuadros que hay que moverse en las direcciones de \(\vec u \) y \(\vec v\) para formar el vector \(\vec w\).