Producto escalar de dos vectores
El producto escalar de dos vectores \(\vec u\) y \(\vec v\) se denota mediante \(\vec u \cdot \vec v\) y se define como:
\(\hspace{2em} \vec u\cdot \vec v=|\vec u||\vec v| \cos \alpha\)
siendo \(\alpha=( \widehat{\vec u,\vec v})\) el ángulo que forman los vectores \(\vec u\) y \(\vec v\).
Observaciones
1) El resultado del producto escalar es un número.
2) Si alguno de los vectores es el vector cero, no puede determinarse el ángulo entre ellos. En tal caso, se define \(\vec u\cdot\vec v=0\).
3) Si \(\vec u\) y \(\vec v\) son no nulos, el ángulo que forman es el menor de los dos posibles, que toma un valor entre \(0^\mbox{o}\) y \(180^\mbox{o}\).
4) El signo del producto escalar depende de que el ángulo que forman los vectores sea agudo u obtuso:
Producto escalar y proyecciones
La proyección de un vector \(\vec u\) sobre un vector \(\vec v\) se define como:
\(\hspace{2em}\mbox{proy}_{\vec v}(\vec u)=|\vec u|\cos\alpha\hspace{2em} \) siendo \(\alpha=(\widehat{\vec u,\vec v)}\)
Observaciones
1) La proyección de un vector sobre otro es una distancia con signo. Si los vectores son no nulos, entonces:
- \(\alpha<90^\mbox{o}\Rightarrow \mbox{proy}_{\vec v}(\vec u)>0\)
-
\(\alpha>90^\mbox{o}\Rightarrow \mbox{proy}_{\vec v}(\vec u)<0\)
-
\(\alpha=90^\mbox{o}\Rightarrow \mbox{proy}_{\vec v}(\vec u)=0\)
2) Teniendo en cuenta que
\(\hspace{2em}\vec u\cdot\vec v=|\vec u||\vec v|\cos \alpha=|\vec v|\mbox{proy}_{\vec v}(\vec u)\),
el producto escalar puede entenderse como el producto de la proyección de un vector por el módulo del vector sobre el que se proyecta. Geométricamente, es el área del rectángulo mostrado en el siguiente applet:
3) Fórmulas alternativas:
\(\hspace{2em} \displaystyle\mbox{proy}_{\vec v}(\vec u)=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec v|}\)
\(\hspace{2em} \displaystyle\mbox{proy}_{\vec u}(\vec v)=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|}\)
Producto escalar y módulo
\(\vec u\cdot\vec u=|\vec u||\vec u|\cos 0^\mbox{o}=|\vec u|^2 \hspace{1em} \Rightarrow\) \(\hspace{1em}|\vec u|=\sqrt{\vec u\cdot\vec u}\)
Angulo de dos vectores
Si \(\alpha=(\widehat{\vec u,\vec v})\), \( \hspace{2em}\cos\alpha=\displaystyle\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}\)
Propiedades del producto escalar
Si \(V\) es el conjunto de los vectores del plano, se cumplen las siguientes propiedades:
- Dos vectores no nulos son perpendiculares si y sólo si su producto escalar es cero.
\(\vec u\perp \vec v \iff \vec u\cdot \vec v=0\) - Propiedad conmutativa: \(\hspace{2em} \vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u \hspace{1em} \forall \vec u,\vec v\in V\)
- Propiedad asociativa: \(\hspace{2em} k(\vec u\cdot\vec v)=(k\vec u)\cdot\vec v=\vec u\cdot(k\vec v) \hspace{1em} \forall \vec u,\vec v\in V \hspace{1em} \forall k\in\mathbb R\)
- Propiedad distributiva: \(\hspace{2em} \vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w \hspace{1em} \forall \vec u,\vec v,\vec w\in V\)