Distancia entre dos puntos
La distancia ente dos puntos \(A=(x_A,y_A)\) y \(B=(x_B,y_B)\) es el módulo del vector \(\overrightarrow{AB}\):
\(\hspace{2em} d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
Distancia entre un punto y una recta
En el siguiente ejemplo vamos hallar de forma razonada la distancia de un punto a una recta. El proceso que se va a seguir es el mismo que el que se utilizará posteriormente para demostrar la fórmula de la distancia de un punto a una recta en un caso general.
La distancia de un punto \(P=(x_P,y_P)\) a una recta \(r:Ax+By+C=0\) viene dada por:
\(\hspace{2em} d(P,r)=\displaystyle \frac{|Ax_P+By_P+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
Demostración
Sea \(Q=(x_Q,y_Q)\in r\)
\(\overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P,y_Q-y_P)\)
Vector normal de \(r\): \(\hspace{1em}\vec n=(A,B)\)
\(d(P,r)=|\mbox{proy}_{\vec n}(\overrightarrow{PQ})|=\displaystyle\frac{|\overrightarrow{PQ}\cdot \vec n |}{|\vec n|}=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \frac{|(x_Q-x_P,y_Q-y_P)\cdot(A,B)|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \frac{|A(x_Q-x_P)+B(y_Q-y_P)|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \frac{|Ax_Q+By_Q-Ax_P-By_P|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
Como \((x_Q,y_Q)\in r\), entonces \(Ax_Q+By_Q+C=0\).
Por tanto, \(Ax_Q+By_Q=-C\) y la distancia del punto a la recta es:
\(\hspace{2em} d(P,r)=\displaystyle \frac{|-C-Ax_P-By_P|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|Ax_P+By_P+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
