En el conjunto \(V\) de los vectores del plano se verifican las siguientes propiedades relacionadas con las operaciones suma y producto por escalares:
- Propiedad conmutativa de la suma:
\(\hspace{1em} \vec u +\vec v=\vec v+\vec u \hspace{1em} \forall \vec u,\vec v\in V\) - Propiedad asociativa de la suma:
\(\hspace{1em} (\vec u +\vec v)+\vec w=\vec u+(\vec v+\vec w) \hspace{1em} \forall \vec u,\vec v,\vec w\in V\) - Elemento neutro respecto a la suma:
\(\hspace{1em} \vec 0+\vec u=\vec u+\vec 0=\vec u \hspace{1em} \forall \vec u\in V\) - Elemento opuesto:
\(\hspace{1em}\) para cada \(\vec u\in V\) existe \(-\vec u\in V\) tal que \(\vec u+(-\vec u)=\vec 0\) - Propiedad pseudoasociativa del producto:
\(\hspace{1em} (k_1\cdot k_2 )\cdot\vec u=k_1\cdot(k_2\cdot\vec u) \hspace{1em} \forall \vec u\in V \hspace{1em} \forall k_1,k_2\in\mathbb R\) - Elemento neutro respecto al producto:
\(\hspace{1em} 1\cdot\vec u=\vec u \hspace{1em} \forall \vec u\in V\) - Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores:
\(\hspace{1em} k\cdot(\vec u+\vec v)=k\cdot\vec u+k\cdot\vec v \hspace{1em} \forall \vec u,\vec v\in V \hspace{1em} \forall k\in\mathbb R\) - Propiedad distributiva respecto a la suma de escalares:
\(\hspace{1em}(k_1+k_2)\cdot\vec u=k_1\cdot\vec u+k_2\cdot\vec u \hspace{1em} \forall \vec u\in V \hspace{1em} \forall k_1,k_2\in\mathbb R\)