Si las coordenadas de dos vectores \(\vec u_1\) y \(\vec u_2\) respecto de una base ortonormal \(\mathcal B(\vec i, \vec j)\) son \(\hspace{1em} \vec u_1=(x_1,y_1),\) \(\hspace{1em} \vec u_2=(x_2,y_2),\hspace{1em}\) entonces
\(\hspace{2em} \vec u_1\cdot\vec u_2=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2\)
Demostración
Si \(\mathcal B(\vec i, \vec j)\) es una base ortonormal, entonces \( \hspace{1em}\vec i\cdot\vec i=1, \hspace{1em} \vec i\cdot\vec j=0 \hspace{1em}\mbox{y}\hspace{1em} \vec j\cdot\vec j=1\).
\(\hspace{2em}\vec u_1\cdot \vec u_2=( x_1\vec i+ y_1\vec j)\cdot( x_2\vec i+ y_2\vec j)=\)
\(\hspace{2em} \hspace{2em} \hspace{1em}= x_1 x_2 (\underbrace{\vec i\cdot\vec i}_{1})+ x_1 y_2 (\underbrace{\vec i\cdot\vec j}_{0})+ y_1 x_2 (\underbrace{\vec j\cdot\vec i}_{0})+ y_1 y_2 (\underbrace{\vec j\cdot\vec j}_{1})=\)
\(\hspace{2em} \hspace{2em} \hspace{1em}= x_1 x_2+ y_1 y_2\)
Ejemplo: \(\hspace{1em}(-5,-8)\cdot(3,-1)=(-5)\cdot 3+(-8)\cdot(-1)=-15+8=-7\)
Módulo de un vector en bases ortonormales
Si las coordenadas de un vector \(\vec u\), referidas a una base ortonormal son \(\mathcal B(\vec i, \vec j)\), son \(\vec u=(x,y)\), se tiene entonces:
\(\hspace{2em} |\vec u|^2=\vec u\cdot\vec u=(x,y)\cdot(x,y)=x^2+y^2\)
o bien
\(\hspace{2em} |\vec u|=\sqrt{x^2+y^2}\)
Ejemplo: Calcula el módulo del vector \(\vec u=(-2,-3)\)
\(|\vec u|=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13}\)
Interpretación geométrica
\(|\vec u|\) es la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma al obtener \(\vec u\) como suma de los vectores \(x\vec i\) e \(y\vec j\).
En efecto, por el teorema de Pitágoras:
\(|\vec u|^2=|x\vec i|^2+|y\vec j|^2=x^2+y^2\)
Ángulo de dos vectores
Si las coordenadas de dos vectores no nulos \(\vec u_1\) y \(\vec u_2\) con respecto a una base ortonormal \(\mathcal B(\vec i,\vec j)\) son \(\vec u_1=(x_1,y_1)\) y \(\vec u_2=(x_2,y_2)\), entonces el ángulo que forman verifica:
\(\hspace{2em} \cos(\widehat{\vec u_1,\vec u_2})=\displaystyle\frac{\vec u_1\cdot \vec u_2}{|\vec u_1||\vec u_2|}=\frac{x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\)
Ejemplo: \(\hspace{1em}\) Halla el ángulo que forman los vectores \(\vec u_1=(-3,1)\) y \(\vec u_2=(-2,-2)\).
\(\hspace{2em}\cos(\widehat{\vec u_1,\vec u_2})=\displaystyle\frac{\vec u_1\cdot \vec u_2}{|\vec u_1||\vec u_2|}=\frac{(-3)\cdot(-2)+1\cdot(-2)}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{8}}=\frac 4 {\sqrt{80}}=\frac 1 {\sqrt{5}}\)
\(\hspace{2em} (\widehat{\vec u_1,\vec u_2})=63.43^\mbox{o}\)
Vectores perpendiculares
Si \(\vec u_1=(x_1,y_1)\) y \(\vec u_2=(x_2,y_2)\) son dos vectores cuyas coordenadas están referidas a una base ortonormal, entonces:
\(\hspace{2em} \vec u_1\perp \vec u_2 \iff \vec u_1\cdot\vec u_2=0 \iff x_1x_2+y_1y_2=0\)
Ejemplo: Determina si los vectores \((2,9)\) y \((-36,8)\) son perpendiculares.
\(\hspace{1em} (2,9)\cdot(-36,8)=2\cdot(-36)+9\cdot 8=-72+72=0\Longrightarrow \)Son perpendiculares
Observación
Dado un vector \(\vec u=(x,y)\), hay infinitos vectores perpendiculares a él. Dos posibilidades (de sentidos opuestos) son:
\(\hspace{2em} \vec v_1=(-y,x)\)
\(\hspace{2em} \vec v_2=(y,-x)\)
Comprobación
\(\hspace{2em}\vec u\cdot \vec v_1=(x,y)\cdot(-y,x)=-xy+yx=0\)
\(\hspace{2em} \vec u\cdot \vec v_2=(x,y)\cdot(y,-x)=xy-yx=0\)
Ejemplo: Halla un vector perpendicular a \((-6,9)\).
Un vector perpendicular a \((-6,9)\) puede ser \((9,6)\)
Por útimo, un ejercicio en GeoGebra para practicar los conceptos vistos en este punto.