En el caso de querer calcular la distancia entre dos rectas, ahora sí tenemos dos opciones en las que las rectas no comparten ningún punto: cuando sean paralelas o se crucen.

Por lo tanto, será esencial determinar en primer lugar la posición relativa, ya que los métodos a seguir, serán diferentes.

CASO I. Las rectas son paralelas.

Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección (sus vectores directores son proporcionales). Como la separación entre ellas es constante, podemos aplicar el procedimiento análogo al que se llevó a cabo con distancia entre dos planos parelelos.

Nos fijamos en la recta \( r \) y elegimos un punto cualquiera de ella, \( P_r \). Nos olvidamos de la recta \( r \) por completo.
Calculamos la distancia desde ese punto \( P_r \) hasta la otra recta (\( s \)).

💡 Regla de oro: Si \( r \parallel s \), entonces \( d(r, s) = d(P_r, s) \). Como se vio con anterioridad, debemos calcular la proyección del punto \(P_r\) a la recta \(s\).

CASO II. Las rectas se cruzan

Imagina dos rectas \( r \) y \( s \) que vuelan por el espacio a distintas alturas y con distintas direcciones, cruzándose sin tocarse jamás. Medir la distancia mínima entre dos líneas flotantes es complicado. Para solucionarlo, vamos a calcular el plano que contiene a una de ellas y es paralelo a la otra.

Tomamos la recta \( s \) y, utilizando su dirección y la de la recta \( r \), fabricamos un plano auxiliar \( \pi \). Este plano va a contener por completo a la recta \( s \) y  va a ser completamente paralelo a la recta \( r \).
Como el plano \( \pi \) y la recta \( r \) son paralelos, la recta \( r \) vuela siempre a la misma altura respecto a ese plano.
Por tanto, la distancia mínima entre las dos rectas originales es exactamente la misma que la distancia desde cualquier punto de la recta \( r \) hasta nuestro nuevo plano \( \pi \).
💡 Regla de oro: \( d(r, s) = d(P_r, \pi) \), donde \( \pi \) es el plano que contiene a \( s \) y es paralelo a \( r \), y \( P_r \) es un punto extraído de la recta \( r \).

CASO I. Las rectas son paralelas

1. Nos fijamos en la recta \(r\) y cogemos un punto de la misma, \(P_r\).
2. La distancia entra las dos rectas, será la distancia entre dicho punto y la recta \(s\). \( d(r,s)=d(P_r,s)\).
3. Calculamos la proyección ortogonal de \(P_r\) sobre la recta s. Plano perpendicular a \(r\) que pase por \(P_r\). Punto de corte de dicho plano con la recta \(s\), lo llamaremos \(Q_s\).
4. Entonces, \( d(r,s)=d(P_r,s)=d(P_r,Q_s)=||\vec{P_rQ_s}||\).

CASO II. Las rectas se cruzan

1. Paso 1: Construir el plano auxiliar \( \pi \). Este plano contiene a la recta \( s \) (luego usa su punto \( P_s \) y su vector \( \vec{v}_s \)) y es paralelo a \( r \) (luego usa, también, el vector \( \vec{v}r \)). Su vector normal se obtiene haciendo el producto vectorial: \( \vec{n}\pi = \vec{v}_r \times \vec{v}_s \).
2. Paso 2: Elegir un punto de la otra recta. Extraemos un punto cualquiera \( P_r \) de la recta \( r \).
3. Paso 3: Calcular la distancia final. Aplicamos la fórmula estándar de distancia de un punto a un plano: \( d(r,s)=d(r,\pi)=d(P_r, \pi) \).