Un vector en el espacio es un segmento orientado que va desde un punto de origen hasta un punto de destino.

Geométricamente, representa una magnitud física que posee tres características inseparables:

• Módulo: Es la longitud o tamaño del segmento (lo que mide la flecha).
• Dirección: Es la recta que lo soporta (la inclinación de la línea en el espacio) y de todas las rectas paralelas a ella.
• Sentido: Indicado por la punta de la flecha (hacia dónde apunta: si sube o baja, si va a la derecha o a la izquierda).

Geométricamente: Multiplicar un vector \( \vec{u} \) por un número \( k \) hace que el vector se estire (si \( |k| > 1 \)), se encoja (si \( |k| < 1 \)) o cambie de sentido (si \( k \) es negativo).

La dirección nunca cambiará.

Propiedades del producto de un vector por un escalar (\(k\cdot \vec{v}\))

1. Distributiva respecto a la suma de vectores: \( k \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = k \cdot \vec{u} + k \cdot \vec{v} \)
2. Distributiva respecto a la suma de escalares: \( (a + b) \cdot \vec{u} = a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{u} \)
3. Asociativa mixta: \( a \cdot (b \cdot \vec{u}) = (a \cdot b) \cdot \vec{u} \)
4. Elemento Unidad: El número 1 mantiene al vector idéntico: \( 1 \cdot \vec{u} = \vec{u} \)

Sumar dos vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) consiste en encadenarlos (poner el origen del segundo en el extremo del primero).

El vector suma es el que va desde el origen del primero hasta el extremo del segundo (conocida como Regla del Paralelogramo).

Observación: en caso de sumar tres vectores que no son coplanarios, haremos coincidir sus orígenes en un mismo punto, así determinarán un paralelepípedo. De esta manera, sumando dos de ellos con la regla del paralelogramos y, a su resultado, sumarle el tercero de nuevo con la misma regla, obtenemos un vector que va desde el origen de los tres vectores hasta el vértice diamentralmente opuesto del paralelepípedo, a esto se le conoce como la regla del paralelepípedo.

Propiedades de la suma de vectores (\(\vec{u}+\vec{v}\))

1. Asociativa: \( (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) \)
2. Conmutativa: El orden no altera el vector resultante: \( \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} \)
3. Elemento Neutro (Vector Nulo): Existe un vector \( \vec{0} = (0,0,0) \) que no altera a los demás: \( \vec{u} + \vec{0} = \vec{u} \)
4. Elemento Opuesto: Todo vector \( \vec{u} \) tiene un opuesto \( -\vec{u} \) tal que: \( \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0} \)

Al conjunto de los vectores del espacio tridimensional, junto con estas dos operaciones fundamentales, se les conoce como Espacio Vectorial.