Cualquier punto de una recta quedará, vectorialmente determinado cuando conozcamos:

1. Bien un punto P y una dirección \( \vec{d_r} \Rightarrow   \vec{OX}=\vec{OP}+\lambda\vec{d_r}  \Leftrightarrow   (x, y, z)=(p_1, p_2, p_3)+\lambda(d_1, d_2, d_3)\).
2. Bien con dos puntos P y Q \( \Leftrightarrow  \vec{d_r} | | \vec{PQ}   \)

A la expresión de la recta en la forma \( (x, y, z)=(p_1, p_2, p_3)+\lambda(d_1, d_2, d_3)\) se le conoce como ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA.

Si llevamos a cabo la operación entre vectores, es decir, entre sus coordenadas:   \( (x, y, z)=(p_1+\lambda d_1, p_2+\lambda d_2, p_3+\lambda d_3) \).

O, escribiéndolo de otra forma:  \(  \left \{ \begin{array}{lll}x=p_1+\lambda d_1 \\y=p_2+\lambda d_2 \\z=p_3+\lambda d_3\end{array}      \right.  \), obteniendo así las ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA.

El siguiente paso natural, consistiría en despejar el parámetro (\( \lambda \)) de cada ecuación: \(  \left \{ \begin{array}{lll}\lambda=\dfrac{x-p_1}{d_1} \\\lambda=\dfrac{y-p_2}{d_2} \\\lambda=\dfrac{z-p_3}{d_3}\end{array}      \right.  \). De esta forma, si igualamos todas las expresiones, obtendríamos:

\(  \dfrac{x-p_1}{d_1}=\dfrac{y-p_2}{d_2}=\dfrac{z-p_3}{d_3}  \) ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA.

Por último, si igualamos las expresiones de dos en dos: \( \left \{ \begin{array}{ll}\dfrac{x-p_1}{d_1}=\dfrac{y-p_2}{d_2}\\ \dfrac{y-p_2}{d_2}=\dfrac{z-p_3}{d_3}  \end{array}   \right.  \)  Siempre y cuando las dos componentes de los vectores no sean nulas simultáneamente, podremos obtener dos ecuaciones, reordenando adecuadamente, del tipo:   \( \left \{ \begin{array}{ll} Ax+By+Cz+D=0\\ A'x+B'y+C'z+D'=0\end{array}  \right. \), a la que llamaremos ECUACIÓN EN FORMA IMPLÍCITA DE LA RECTA.