Si pensamos en el plano \( \pi \) como un espejo infinito, el simétrico de una recta \( r \) será otra recta \( r' \) que representa su reflejo especular.

Para determinar de forma única una recta en el espacio, solo necesitamos dos puntos. Por tanto, nuestra estrategia para hallar la recta simétrica \( r' \) consistirá simplemente en buscar dos puntos de su "reflejo":

1. El punto de corte (\( M \)): Es el punto donde la recta original \( r \) atraviesa el plano \( \pi \). Como este punto está justo en la superficie del "espejo", ¡su reflejo es él mismo! Es un punto invariante que pertenece tanto a \( r \) como a la recta simétrica \( r' \). En el caso hipotético de que la recta y el plano sean secantes.
2. El simétrico de un punto cualquiera (\( P' \)): Elegimos un punto cualquiera \( P \) de la recta \( r \) y calculamos su punto simétrico \( P' \) respecto al plano (tal y como aprendimos en el apartado anterior). Si la recta y el plano son paralelos, deberemos llevar a cabo este proceso con dos puntos diferentes.

La recta simétrica buscada \( r' \) será la que pasa por \( M \) y por \( P' \).

¡¡¡En el caso de que la recta esté contenida en el plano, su simétrica respecto del mismo será ella misma!!!

Vemos, por lo tanto, que es esencial estudiar la posición relativa entre recta y plano antes de comenzar.

CASO I: La recta y el plano son secantes (\( r\cap \pi = M\))

• Paso 1: Calcular la intersección (\( M = r \cap \pi \)). Hallamos el punto donde la recta corta al plano. 
• Paso 2: Seleccionar un punto \( P \). Tomamos un punto de la recta \( r \) que sea fácil de operar (distinto de \( M \)).
• Paso 3: Calcular su simétrico \( P' \). Hallamos el simétrico de \( P \) respecto al plano \( \pi \) usando la recta auxiliar y el punto medio. Como se hizo en P3.
• Paso 4: Construir la recta simétrica \( r' \). Con el punto \( M \) y el punto \( P' \), obtenemos el vector director \( \vec{v}_{r'} = \overrightarrow{MP'} \) y escribimos la ecuación de la recta \( r' \).

CASO II: La recta y el plano son paralelos (\( r || \pi  \))

Paso 1: Seleccionar dos puntos \( P \text{ y } Q\). Tomamos dos puntos de la recta \( r \) con los que se pueda trabajar fácilmente
Paso 2: Calcular su simétrico \( P' \text{ y } Q'\). Hallamos el simétrico de \( P \text{ y de } Q\) respecto al plano \( \pi \) usando la recta auxiliar y el punto medio. Como se hizo en P3.
Paso 3: Construir la recta simétrica \( r' \). Con el punto \( Q' \) y el punto \( P' \), obtenemos el vector director \( \vec{v}_{r'} = \overrightarrow{Q'P'} \) y escribimos la ecuación de la recta \( r' \).