Deberíamos imaginarla como la "sombra" rectilínea que proyecta un punto \( P \) situado en el espacio sobre una recta \( r \) si lo iluminásemos desde una posición completamente perpendicular.

El resultado es un nuevo punto, al que llamaremos \( Q \) (proyección de \( P \) sobre \( r \)), que resulta ser el punto de la recta más cercano a \( P \).

Observación: La recta que une P y Q es perpendicular a la recta r.

Para hallar este punto \( Q \), vamos a reutilizar lo que ya sabemos hacer en dos pasos muy lógicos:

1. Construimos un plano auxiliar (\( \pi \)): Forzamos que este plano sea perpendicular a la recta \( r \) y que, además, pase por nuestro punto \( P \).
2. Calculamos la intersección: El punto donde la recta \( r \) "atraviesa" el plano \( \pi \) es exactamente nuestro punto proyección \( Q \).

• Paso 1: Hallar el plano perpendicular \( \pi \). Usamos el vector director de la recta \( \vec{v}_r = (A, B, C) \) como vector normal del plano e imponemos que pase por \( P \) para calcular el término \( D \).
• Paso 2: Expresar la recta en paramétricas. Si no lo está, pasamos la ecuación de la recta \( r \) a su forma paramétrica en función de un parámetro (por ejemplo, \( \lambda \)).
• Paso 3: Calcular el punto de corte. Sustituimos las expresiones de \( x \), \( y \) y \( z \) de la recta dentro de la ecuación del plano \( \pi \). Despejamos el valor numérico de \( \lambda \).
• Paso 4: Obtener las coordenadas de \( Q \). Sustituimos el valor de \( \lambda \) obtenido en las ecuaciones paramétricas de la recta.