Para poder determinar la posición relativa entre una recta \(r\) y un plano \(\pi\), necesitamos conocer un punto y el vector director de la recta y el vector normal del plano:

Recta \( r \): punto \(A=(a_1, a_2 , a_3)\), vector director \( \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) \)
Plano \(\pi\): vector normal \( \vec{n} = (n_1, n_2, n_3) \)

Casos posibles

1. La recta está incluida en el plano (\( r\subset\pi \)): La recta está sobre el plano, por lo tanto su vector director deberá ser ortogonal al vector normal del plano. Es decir, \[\vec{u}\cdot\vec{n}=0\] 
2. La recta es paralela al plano (\(r||\pi\)): La recta y el plano no tienen ningún punto en común, además, el vector director de la recta y el normal del plano son ortogonales. De nuevo,  \[\vec{u}\cdot\vec{n}=0 \text{, pero } A \notin \pi\]
3. La recta y el plano son secantes (\(r X \pi\)): La recta y el plano se cortan en un punto, de forma que el vector normal del plano y el director de la recta, no pueden ser ortogonales, es decir,  \[\vec{u}\cdot\vec{n} \neq 0\]

Si escribimos la recta en su forma implícita, es decir, como intersección de dos planos: \( r: \left \lbrace \begin{array}    A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0  \\   A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{array} \right.  \\ \)

y con la ecuación general del plano \( \pi: A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0\)  obtendremos:

\[ M = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{pmatrix} \]
\[M^* = \begin{pmatrix}A_1 & B_1 & C_1 & D_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 & D_2\\ A_3 & B_3 & C_3 & D_3 \end{pmatrix}\]

Tenemos un sistema de ecuaciones lineales con tres ecuaciones. Analizando los rangos: