Sean el punto \( P(x_0, y_0, z_0)\) y la recta de ecuaciones paramétricas \(\left \{ \begin{array}{lll}x=r_1+\lambda v_1 \\y=r_2+\lambda v_2 \\z=r_3+\lambda v_3 \end{array} \right.\)

Para definir por completo un plano \( \pi \) en el espacio, necesitamos obligatoriamente dos elementos: un punto por el que pasa, \( P(x_0, y_0, z_0) \), y un vector normal (perpendicular) al plano, \( \vec{n} = (A, B, C) \).

La ecuación general o implícita del plano se expresa matemáticamente como: \[ \pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0 \]

Si el plano que buscamos debe ser perpendicular a una recta \( r \), el vector director de dicha recta (\( \vec{v}_r \)) apuntará exactamente en la misma dirección que el vector normal del plano (\( \vec{n} \)). Por lo tanto, podemos establecer que:
\[ \vec{n} = \vec{v}_r = (A, B, C) \]

Por lo tanto, las pasos que podemos seguir para la resolución serán:

• Paso 1: Identificar el vector. Extrae el vector director de la recta dada, \( \vec{v}_r = (A, B, C) \). Este se convierte directamente en el vector normal de tu plano.
• Paso 2: Plantear la ecuación. Sustituye los valores de \( A \), \( B \) y \( C \) en la ecuación general del plano, dejando el término independiente \( D \) como una incógnita provisional: \[ Ax + By + Cz + D = 0 \]
• Paso 3: Calcular el término independiente (\( D \)). Sustituye las coordenadas del punto conocido \( P(x_0, y_0, z_0) \) en las variables \( x \), \( y \), \( z \) de la ecuación anterior y despeja el valor numérico de \( D \).
• Paso 4: Escribir la ecuación final. Reemplaza el valor de \( D \) obtenido para cerrar la ecuación del plano de forma definitiva.