Cuando dos rectas \( r \) y \( s \) se cruzan en el espacio, existe una única recta que es perpendicular a ambas a la vez y que, además, las corta. A esta recta la llamamos perpendicular común (\( t \)).

Para definir la recta \( t \), el método más rápido es construirla como la intersección de dos planos auxiliares, \( \pi_r \) y \( \pi_s \):

1. El vector director de \( t \) (\( \vec{v}_t \)): Como debe ser perpendicular a las dos rectas, lo obtenemos directamente haciendo el producto vectorial de sus vectores directores: \( \vec{v}_t = \vec{v}_r \times \vec{v}_s \).
2. Plano \( \pi_r \): Es el plano que contiene a \( r \) y tiene la dirección de \( \vec{v}_t \).
3. Plano \( \pi_s \): Es el plano que contiene a \( s \) y tiene la dirección de \( \vec{v}_t \).

• Paso 1: Calcular la dirección de la perpendicular común. Halla \( \vec{v}_t = \vec{v}_r \times \vec{v}_s \).
• Paso 2: Construir el plano \( \pi_r \). Usa el punto \( P_r \) y los vectores \( \vec{v}_r \) y \( \vec{v}t \). El vector normal del plano será \( \vec{n}{\pi_r} = \vec{v}_r \times \vec{v}_t \).
• Paso 3: Construir el plano \( \pi_s \). Usa el punto \( P_s \) y los vectores \( \vec{v}_s \) y \( \vec{v}t \). El vector normal del plano será \( \vec{n}{\pi_s} = \vec{v}_s \times \vec{v}_t \).
• Paso 4: Expresar la recta. Une ambas ecuaciones implícitas en un sistema.