Para estudiar la posición relativa de dos rectas en el espacio, \(r\) y \(s\), necesitamos conocer un punto y el vector director de cada una de ellas:

Recta \( r \): punto \(A\), vector director \( \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) \)
Recta \(s\): punto \(B\), vector director \( \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) \)

Casos posibles

1. Rectas Coincidentes (\( r=s \)): Son la misma recta. Sus vectores tienen la misma dirección, es decir, son proporcionales. Además, comparten todos sus puntos.
   \[\frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} = \frac{u_3}{v_3} \text{  y   } r\in s  \text{  y  } s\in r\]
2. Rectas Paralelas (\(r||s\)): Tienen la misma orientación en el espacio pero no se tocan. Los vectores directores son proporcionales, pero no comparten ningún punto.
   \[\frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} = \frac{u_3}{v_3} \text{ y } r \notin s \text{  y  } s \notin r\]
3. Rectas Secantes (\(r X s\)): Tienen distinta dirección y se cortan en un punto. Es decir, se incluyen en un mismo plano. Sus vectores directores no son proporcionales. Y los tres vectores: \(\vec{u}, \vec{v} , \vec{AB}\) no son complanarios, es decir, su producto mixto será cero.
   \[\frac{u_1}{v_1} \neq \frac{u_2}{v_2} \neq\frac{u_3}{v_3}\text{, además,  }  [ \vec{u}, \vec{v}, \vec{AB} ]= det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ AB_1 & AB_2 & AB_3 \end{pmatrix} = 0\]
4. Rectas Cruzadas. Son rectas que no tienen ningún punto en común y, además, tienen diferente dirección, es decir, sus vectores directores no son proporcionales y no se pueden incluir en un mismo plano. De esta manera:

          \[ \frac{u_1}{v_1} \neq \frac{u_2}{v_2} \neq\frac{u_3}{v_3} \text{ , además,  } [ \vec{u}, \vec{v}, \vec{AB} ] =det \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ AB_1 & AB_2            & AB_3 \end{pmatrix} \neq 0 \]

Si el determinante de orden 3 de la matriz \(M^*\) es distinto de cero (\(|M^*| \neq 0\)), el rango es 3 y podemos asegurar directamente que las rectas se cruzan en el espacio.

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