Llamaremos proyección ortogonal de la recta \(r\) sobre un plano \(\pi\), a la recta obtenida mediante las proyecciones ortogonales sobre \(\pi\) de todos y cada uno de los puntos de la recta \(r\) .

Recordemos que para obtener la ecuación de una recta nos bastarán con conocer dos puntos de la misma.

De nuevo, será de vital importancia comenzar con la posición relativa que existe entre recta y plano.

CASO I. La recta \(r\) y el plano \(\pi\) son secantes (\(r\cap \pi = I\))

• Paso 1: Calcular la intersección \( I = r \cap \pi \). Hallamos el punto de contacto entre la recta y el plano. El punto de intersección es el único punto en común entre la recta y su proyección sobre el plano.
• Paso 2: Seleccionar un punto \( P \). Tomamos el punto conocido de la recta \( r \).
• Paso 3: Proyectar el punto \( P \) sobre el plano. Trazamos la recta auxiliar perpendicular al plano que pasa por \( P \) y buscamos su punto de corte \( Q \) con el plano.
• Paso 4: Construir la recta proyectada \( r' \). Con los puntos \( I \) y \( Q \), obtenemos el vector director \( \vec{v}_{r'} = \overrightarrow{IQ} \) y escribimos su ecuación.

CASO II. La recta \(r\) y el plano \(\pi\) son paralelos (\(r || \pi \))

• Paso 2: Seleccionar dos \( P \text{ y } Q\). Tomamos el punto conocido de la recta \( r \) y otro más que sea de fácil manejo, a ser posible.
• Paso 3: Proyectar ambos puntos\( P\text{ y } Q \) sobre el plano. Trazamos la rectas auxiliares perpendiculares al plano que pasan por \( P\text{ y } Q \) y buscamos sus puntos de corte \( Q'\text{ y } P' \) con el plano.
• Paso 4: Construir la recta proyectada \( r' \). Con los puntos \( P' \) y \( Q' \), obtenemos el vector director \( \vec{v}_{r'} = \overrightarrow{P'Q'} \) y escribimos su ecuación.