La distancia de un punto \( P \) a una recta \( r \) es la longitud del segmento perpendicular que va desde el punto hasta la recta. El punto exacto donde esa línea perpendicular choca con la recta se llama proyección ortogonal de \( P \) sobre \( r \), y lo representaremos como \( P' \).

Si logramos averiguar cuáles son las coordenadas de ese punto \( P' \), el problema se reduce simplemente a calcular la distancia entre dos puntos: \( d(P, r) = d(P, P') \).

Para cazar al punto \( P' \) sin usar fórmulas vectoriales complejas, vamos a utilizar un plano auxiliar (\( \pi \)) que actúe como una red:

Diseñamos un plano \( \pi \) que sea completamente perpendicular a la recta y que, además, pase obligatoriamente por nuestro punto \( P \).
Como el plano es perpendicular a la recta, esta lo atravesará limpiamente como una flecha a una diana. ¡El punto de impacto de la recta con el plano es exactamente nuestra proyección \( P' \)!

• Paso 1: Construir el plano auxiliar \( \pi \). Buscamos un plano perpendicular a la recta \( r \) que pase por \( P \). Por tanto, el vector director de la recta nos sirve directamente como vector normal del plano: \( \vec{n}_\pi = \vec{v}_r \).
• Paso 2: Calcular la proyección \( P' \). Hallamos el punto de corte entre la recta \( r \) y el plano \( \pi \) sustituyendo las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano.
• Paso 3: Calcular la distancia final. Calculamos el módulo del vector \( \overrightarrow{PP'} \) (la distancia entre ambos puntos).