Posición Relativa entre dos planos
Dados dos planos \(\pi_1\) y \(\pi_2\) expresados en sus ecuaciones implícitas o generales:
\(\pi_1 \equiv A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\)
\(\pi_2 \equiv A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\)
Sus vectores normales, o perpendiculares, son \(\vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1)\) y \(\vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2)\).
Para poder determinar la posición relativa en el espacio, el método más rápido consiste en comparar la proporcionalidad de sus coeficientes.
Casos posibles
- Planos Coincidentes (\(\pi_1=\pi_2\)): Son el mismo plano. Todos sus coeficientes, incluidos los términos independientes, son proporcionales.
\[\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}\].png)
- Planos Paralelos (\(\pi_1||\pi_2\)): Tienen la misma orientación en el espacio pero no se tocan. Los vectores normales son proporcionales, pero los términos independientes no.
\[\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}\neq \frac{D_1}{D_2}\]
- Planos Secantes (\(\pi_1 X \pi_2\)): Tienen distinta dirección y se cortan en una línea recta. Sus vectores normales no son proporcionales.
\[\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}\].png)
Análisis por rangos (Alternativa matricial)
Si prefieres resolverlo mediante el estudio de matrices (ideal para enlazarlo con el Teorema de Rouché-Frobenius), definimos la matriz de coeficientes \(M\) y la ampliada \(M^*\):
\(M = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \end{pmatrix}\)
\(M^* = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 & D_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 & D_2 \end{pmatrix}\)
| Rango de M | Rango de M* | Posición Relativa | Explicación Geométrica |
| 1 | 1 | Coincidentes | Son el mismo plano. El sistema es compatible indeterminado. |
| 1 | 2 | Paralelos | No tienen ningún punto en común. El sistema será incompatible |
| 2 | 2 | Secantes | Se cortan en infinitos puntos alineados. El sistema es compatible indeterminado. |
GeoGebra Activity
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