Para poder definir un plano, de forma única en el espacio, necesitamos, como mínimo, un punto de apoyo y dos vectores directores que sean linealmente independientes (que no tengan la misma dirección).
Cuando nos dan dos rectas, \( r \) y \( s \), y nos piden el plano \( \pi \) que las contiene, primero debemos comprobar su posición relativa. Solo existen dos escenarios posibles donde las dos rectas puedan compartir un mismo plano (y que sea único):
1.- que sean secantes (se corten)
2.- o que sean paralelas.
Nota. Si las rectas son coincidentes, existe todo un haz de planos que las contiene.
Caso por caso
CASO 1: Las rectas son Secantes (Se cortan en un punto)
Si dos rectas se cortan en un punto, se puede definir de manera única un plano que las contenga:
- El punto: Nos sirve cualquier punto que pertenezca a cualquiera de las dos rectas (por ejemplo, \( P_r \) o \( P_s \)).
- Los dos vectores: Como las rectas tienen direcciones distintas, por ser secantes, sus vectores directores \( \vec{v}_r \) y \( \vec{v}_s \) son linealmente independientes y nos sirven directamente para construir el plano.
CASO 2: Las rectas son paralelas (no tienen ningún punto en común y poseen la misma dirección)
Cuando dos rectas son paralelas, también estaremos en posición de calcular el plano único que las contiene:
- El punto. De nuevo nos valdrá con cualquier punto contenido en las rectas.
- Los dos vectores: El primero de ellos, será el vector de ambas rectas, recordemos que \(\vec{v_r}=\vec{v_s}\). El segundo vector, será el que conecte un punto de la recta \( r \) con un punto de la recta \( s \). Este vector se llamará \( \overrightarrow{P_rP_s} \) y nos dará la dirección transversal que nos faltaba.
CASO 1. Las rectas son secantes. GeoGebra.
https://www.geogebra.org/m/pxdsuwrm (Ventana nueva)
CASO II. Las rectas son paralelas. GeoGebra
https://www.geogebra.org/m/hccgmx55 (Ventana nueva)