La distancia entre un punto \( P \) y un plano \( \pi \) se define como la longitud del segmento más corto posible que los une. Este camino óptimo siempre se encuentra trazando una línea recta completamente perpendicular al plano desde el punto \( P \). El punto donde esa recta toca al plano se llama proyección ortogonal (\( P' \)).

Aunque podríamos calcular \( P' \) resolviendo la intersección recta-plano y luego hallar la distancia entre \( P \) y \( P' \), existe un atajo analítico directo basado en el vector normal del plano que nos ahorra todo ese trabajo.

Dado un punto \( P(x_0, y_0, z_0) \) y un plano expresado en su forma general o implícita \( \pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0 \), la distancia entre ambos viene dada por la fórmula:

\[ d(P, \pi) = \frac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

💡 Cómo entender la fórmula:

El numerador: Consiste en sustituir las coordenadas del punto \( P \) directamente dentro de la ecuación del plano. Todo ello envuelto en un valor absoluto para asegurar que el resultado sea positivo (una distancia nunca puede ser negativa).
El denominador: Es simplemente el módulo del vector normal del plano, \( \vec{n}_\pi = (A, B, C) \), que se calcula con el teorema de Pitágoras.