El producto mixto de tres vectores \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \) (en ese orden estricto) se define como el producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos. Se representa habitualmente entre corchetes:

\[ [,\vec{u}, \vec{v}, \vec{w},] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \]

Dado que primero calculamos un producto vectorial (que da un vector) y luego lo multiplicamos escalarmente por otro vector, el resultado final del producto mixto es un número real (un escalar), que puede ser positivo, negativo o cero.

Aunque la definición exige hacer dos operaciones consecutivas, la geometría analítica nos regala un atajo espectacular. Si conocemos las coordenadas de los tres vectores, el producto mixto coincide exactamente con el determinante de la matriz formada por sus componentes genéricas colocadas por filas:

\[ [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ w_x & w_y & w_z \end{vmatrix} \]

1. Permutación Cíclica (El juego de las sillas): El resultado del producto mixto no varía si rotamos los vectores manteniendo su orden circular (como las agujas del reloj): \[ [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = [\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}] = [\vec{w}, \vec{u}, \vec{v}] \]
2. Signo cambiado por permutación simple: Si intercambias la posición de solo dos vectores entre sí, el determinante cambia de signo (propiedad clásica de las matrices): \[ [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = -[\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}] \]
3. Anulación por dependencia lineal: El producto mixto da exactamente cero si alguno de los vectores es nulo, si dos de ellos son paralelos, o si los tres vectores se encuentran metidos en el mismo plano.

El producto mixto se convierte en la herramienta estrella para resolver de un plumazo estas tres cuestiones:

• Aplicación 1: Condición de Coplanariedad (Vectores en el mismo plano)
  Si tres vectores comparten o son paralelos al mismo plano, no tienen volumen (la caja imaginaria está aplastada, tiene altura cero). Por tanto:

💡 Teorema clave: Tres vectores \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \) son coplanarios si y solo si su producto mixto es igual a cero. \[ [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0 \iff \text{Están en el mismo plano} \]

• Aplicación 2: Cálculo del Volumen de un Paralelepípedo
  El valor absoluto del producto mixto mide la capacidad de la caja tridimensional que delimitan las tres aristas: \[ V_{\text{paralelepípedo}} = \left|  [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]  \right| \]
• Aplicación 3: Cálculo del Volumen de un Tetraedro
  Si en lugar de una caja construimos una pirámide triangular uniendo los extremos de los tres vectores, el volumen se reduce a la sexta parte: \[ V_{\text{tetraedro}} = \frac{1}{6} \cdot \left|  [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]  \right| \]