ÁREA DE UN PARALELOGRAMO

Imagina dos vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) que comparten el mismo punto de origen. Si dibujamos rectas paralelas a ellos para cerrar la figura, lo que obtenemos es un paralelogramo (un cuadrilátero de lados opuestos paralelos).

En geometría clásica, el área de esta figura es \( \text{Base} \cdot \text{Altura} \). Si aplicamos trigonometría en el espacio, la altura es \( \| \vec{v} \| \cdot \sin(\alpha) \). Da la casualidad (bueno, la causalidad matemática) de que la definición del módulo del producto vectorial es precisamente: \[ \| \vec{u} \times \vec{v} \| = \| \vec{u} \| \cdot \| \vec{v} \| \cdot \sin(\alpha) \]

Por lo tanto, el área del paralelogramo coincide exactamente con el módulo del producto vectorial de los dos vectores que lo definen.

\[ \text{Área}_{\text{paralelogramo}} = \| \vec{u} \times \vec{v} \| \]

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

Si a ese mismo paralelogramo diseñado por los vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) le trazamos una diagonal de esquina a esquina, ¿qué nos queda? ¡Dos triángulos exactamente iguales!

Por tanto, si el área de todo el paralelogramo es el módulo del producto vectorial, el área del triángulo será, por pura lógica, la mitad de ese valor.

Observación: Si nos dan tres puntos cualesquiera en el espacio, \( A \), \( B \) y \( C \), construimos los dos vectores que parten de un vértice común (por ejemplo, \( A \)) y aplicamos:

\[ \text{Área}_{\text{triángulo}} = \frac{1}{2} \cdot \| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \| \]

Deberíamos recordar que el producto mixto de tres vectores, que se representa como \( [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] \), consiste en resolver el determinante formado por las coordenadas de dichos vectores. El valor absoluto de este resultado tiene un significado geométrico directo: representa la medida de cuerpos volumétricos en tres dimensiones.

El paralelepípedo

Un paralelepípedo es un cuerpo geométrico de seis caras donde cada cara opuesta es paralela a su pareja (como una caja de zapatos inclinada o un cubo estirado).

Si conocemos tres vectores \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \) que parten de un mismo vértice y definen las tres aristas principales de la caja, el volumen coincide exactamente con el valor absoluto de su producto mixto.

\[ V_{\text{paralelepípedo}} = \left| [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] \right| = \left| det\begin{pmatrix} u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ w_x & w_y & w_z \end{pmatrix}  \right| \]

⚠️ ¡Alerta de Examen! Es fundamental recordar el valor absoluto. Un volumen jamás puede ser negativo. El resultado deberá expresarse en unidades cúbicas (\(u^3)\).

El tetraedro

Un tetraedro es una pirámide de base triangular (cuatro caras que son triángulos). Si tomamos los mismos tres vectores \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \) y, en lugar de cerrar una caja, unimos sus extremos, obtenemos un tetraedro.

La relación entre ambos volúmenes es una bonita deducción geométrica:

1. El volumen de cualquier pirámide es un tercio del área de la base por la altura: \( V = \frac{1}{3} \cdot \text{Área base} \cdot h \).
2. Como la base del tetraedro es un triángulo, su área es exactamente la mitad de la del paralelogramo que forma la base de la caja.
3. Multiplicando ambas fracciones: \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \).
4. Por tanto, el volumen de un tetraedro es exactamente la sexta parte del volumen del paralelepípedo que comparte sus mismas aristas.