Para medir la inclinación relativa entre dos rectas \( r \) y \( s \) en el espacio, no nos importa si se cortan en un punto o si se cruzan a distintas alturas. Lo único que necesitamos es extraer sus direcciones: sus vectores directores (\( \vec{v}_r \) y \( \vec{v}_s \)).

Al juntar los dos vectores en un mismo origen, se forman dos ángulos suplementarios (uno agudo y otro obtuso, que suman \( 180^\circ \)). Como por definición el ángulo de dos rectas debe ser el agudo, obligaremos al resultado del coseno a ser siempre positivo. ¿Cómo? Envolviendo el producto escalar en un valor absoluto.

El ángulo \( \alpha \) que forman las rectas \( r \) y \( s \) se calcula a partir del coseno, utilizando el producto escalar y los módulos de sus vectores directores:

\[ \cos(\alpha) = \frac{| \vec{v}_r \cdot \vec{v}_s |}{|| \vec{v}_r || \cdot || \vec{v}_s ||} \]

• Paso 1: Extrae un vector director de cada recta (\( \vec{v}_r \) y \( \vec{v}_s \)).
• Paso 2: Calcula su producto escalar y quédate con el valor positivo.
• Paso 3: Calcula los módulos (longitudes) de ambos vectores.
• Paso 4: Sustituye en la fórmula y haz la inversa del coseno (\( \text{arc cos} \) o \( \cos^{-1} \)) para obtener los grados.

\[\alpha=Arco cos \left (  \dfrac{|u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2+v_3^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}} \right)\]

Imagina dos planos \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \) que se cortan en el espacio como las páginas de un libro abierto. Medir el ángulo directo entre dos superficies puede ser engorroso, así que recurrimos a sus vectores normales (perpendiculares a cada plano), \( \vec{n}_1 \) y \( \vec{n}_2 \).

Si los planos se inclinan, sus vectores normales se inclinan exactamente en la misma proporción. Por lo tanto, el ángulo \( \alpha \) entre dos planos coincide con el ángulo agudo que forman sus vectores normales.

Al igual que ocurría con las rectas, dos planos al cortarse forman dos ángulos que suman \( 180^\circ \). Por convenio, nos quedaremos siempre con el menor de ellos (el agudo), obligando al coseno a ser positivo mediante un valor absoluto en el numerador.

Si expresamos los planos en su forma general o implícita: \[ \pi_1 \equiv A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \implies \vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1) \] \[ \pi_2 \equiv A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \implies \vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2) \]

El ángulo \( \alpha \) se calcula mediante: \[ \cos(\alpha) = \frac{| \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 |}{|| \vec{n}_1 || \cdot || \vec{n}_2 ||} \]

• Paso 1: Extrae los coeficientes de \( x, y, z \) de cada plano para obtener sus vectores normales \( \vec{n}_1 \) y \( \vec{n}_2 \).
• Paso 2: Calcula su producto escalar en valor absoluto (para asegurar el ángulo agudo).
• Paso 3: Calcula la longitud (módulo) de ambos vectores.
• Paso 4: Despeja el ángulo aplicando el arcocoseno (\( \cos^{-1} \)) en la calculadora.

Para medir la inclinación de una recta \( r \) respecto a un plano \( \pi \), lo lógico sería medir el ángulo \( \alpha \) que se forma entre la recta y su sombra proyectada sobre el suelo (el plano).

Sin embargo, los planos no nos dan su dirección del suelo, sino su vector normal (\( \vec{n}_\pi \)), que apunta hacia el techo (a \( 90^\circ \)). Si calculamos el ángulo entre el vector director de la recta \( \vec{v}r \) y la normal \( \vec{n}\pi \), no estamos obteniendo \( \alpha \), sino su ángulo complementario (\( \beta = 90^\circ - \alpha \)).

Observación: La conexión trigonométrica. Por las propiedades de los ángulos complementarios, sabemos que el coseno de \( \beta \) es exactamente igual al seno de \( \alpha \) (por ejemplo, \( \cos(60^\circ) = \sin(30^\circ) \)). Por eso, para obtener directamente el ángulo real entre la recta y el plano, ¡cambiamos el coseno por el seno!

El ángulo \( \alpha \) formado por la recta \( r \) y el plano \( \pi \) se calcula utilizando el producto escalar en valor absoluto, pero aplicando la función seno:

\[ \sin(\alpha) = \frac{| \vec{v}r \cdot \vec{n}\pi |}{|| \vec{v}r || \cdot || \vec{n}\pi ||} \]

Al igual que en los casos anteriores, el valor absoluto del numerador garantiza que obtengamos el ángulo agudo (entre \( 0^\circ \) y \( 90^\circ \)).

• Paso 1: Extrae el vector director de la recta (\( \vec{v}_r \)).
• Paso 2: Extrae el vector normal del plano (\( \vec{n}_\pi \)).
• Paso 3: Aplica la fórmula del producto escalar y módulos.
• Paso 4: ¡CUIDADO! En la calculadora debes hacer la inversa del seno (\( \text{arc sen} \) o \( \sin^{-1} \)), no del coseno.