Intuitivamente, podemos decir que: 

1.-  Vectores Linealmente Dependientes (LD): Son vectores que no aportan ninguna dirección nueva. Están contenidos en el mismo espacio que los demás.

• Dos vectores son dependientes si tienen la misma dirección (son paralelos).
• Tres vectores son dependientes si están metidos en el mismo plano (son coplanarios).

2.-  Vectores Linealmente Independientes (LI): Son vectores que aportan direcciones completamente nuevas. Ninguno de ellos se puede conseguir combinando los otros.

• Dos vectores son independientes si apuntan a direcciones distintas (abren un plano).
• Tres vectores son independientes si no están en el mismo plano; gracias a ellos podemos construir cualquier punto del espacio tridimensional ($3\text{D}$).

Decimos que un vector \( \vec{w} \) es una combinación lineal de otros vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) si existen unos números reales (escalares) \( a \) y \( b \) tales que: \[ \vec{w} = a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{v} \]

A partir de esta idea, la definición matemática rigurosa dice así:

Un conjunto de vectores \( { \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n } \) es linealmente independiente si la única forma de conseguir que su combinación lineal sume el vector nulo (\( \vec{0} \)) es que todos los coeficientes sean obligatoriamente cero: \[ k_1 \cdot \vec{v}_1 + k_2 \cdot \vec{v}_2 + \dots + k_n \cdot \vec{v}_n = \vec{0} \implies k_1 = k_2 = \dots = k_n = 0 \] Si existe alguna otra combinación de números (donde no todos sean cero) que consiga sumar \( \vec{0} \), entonces el conjunto es linealmente dependiente.

Si colocamos los vectores por filas (o columnas) dentro de una matriz:

Caso de 2 Vectores

• Si sus coordenadas son proporcionales \( \implies \) Dependientes (paralelos).
• Si sus coordenadas NO son proporcionales \( \implies \) Independientes.

Caso de 3 Vectores (El más común)
Calculamos el determinante de la matriz de orden 3x3 formada por los tres vectores:

• Si el Determinante es igual a 0: Significa que el rango es menor que 3. Por lo tanto, los vectores son Linealmente Dependientes (están en el mismo plano, no tienen volumen).
• Si el Determinante es DISTINTO de 0: Significa que el rango es exactamente 3. Los tres vectores son Linealmente Independientes. No se pueden incluir en un mismo plano.

En el espacio tridimensional, una base es un conjunto de tres vectores, \( B = { \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} } \), que cumplen una doble condición:

• Son Linealmente Independientes (LI): No están apuntando a la misma dirección ni metidos en el mismo plano. Abren las tres dimensiones del espacio.
• Son un Sistema Generador: Combinándolos de forma adecuada (estirándolos o encogiéndolos), se puede construir cualquier otro vector que exista en el universo tridimensional.

💡 En resumen: Tres vectores cualesquiera forman una base en el espacio si y solo si su determinante es diferente de cero.

Las Coordenadas de un Vector
Imagina que ya tenemos nuestra base fija \( B = { \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} } \). Si tomamos un vector cualquiera del espacio, \( \vec{x} \), la propiedad de sistema generador nos garantiza que siempre podremos expresarlo como combinación lineal de los vectores de la base:

\[ \vec{x} = a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{v} + c \cdot \vec{w} \]

A esos tres números reales únicos y ordenados \( (a, b, c) \) los llamamos coordenadas del vector \( \vec{x} \) en la base \( B \).

Las coordenadas son las "instrucciones de dirección": cuántas veces tengo que estirar el primer vector, cuántas el segundo y cuántas el tercero para conseguir mi vector objetivo.

👑 La Base Canónica

La base ortonormal por excelencia del espacio se llama base canónica y se denota como \( B_C = { \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} } \), donde: \[ \vec{i} = (1, 0, 0) \quad \vec{j} = (0, 1, 0) \quad \vec{k} = (0, 0, 1) \]