El procedimiento mediante el cual obtendremos las diferentes ecuaciones de un plano se llevará a cabo de manera análoga a cómo procedimos con las ecuaciones de la recta.

Cualquier punto de un plano, vendrá vectorialmente determinado cuando conozcamos:

1. Bien un punto P y dos direcciones diferentes y paralelas al plano (\( \vec{u}, \vec{v} \)) \( \Rightarrow (x, y, z)= (p_1, p_2, p_3)+\lambda(u_1, u_2, u_3)+\beta(v_1, v_2, v_3) \)
2. Bien tres puntos no alineados contenidos en el plano P, Q y R \( \Rightarrow \text{ usaremos } \vec{PQ}, \vec{PR} \)

A la expresión del plano en la forma \(  (x, y, z)= (p_1, p_2, p_3)+\lambda(u_1, u_2, u_3)+\beta(v_1, v_2, v_3) \) se le conoce como ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO.

Llevando a cabo la operación:   \( (x, y, z)=(p_1+\lambda u_1+\beta v_1, p_2+\lambda u_2+\beta v_2, p_3+\lambda u_3+\beta v_3) \).

O, escribiéndolo de otra forma:  \(  \left \{ \begin{array}{lll}x=p_1+\lambda u_1 +\beta v_1\\y=p_2+\lambda u_2 + \beta v_2 \\z=p_3+\lambda u_3 +\beta v_3\end{array}      \right.  \), obteniendo así las ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL PLANO.

Ahora, volviendo al inicio, es decir desde \(  (x, y, z)= (p_1, p_2, p_3)+\lambda(u_1, u_2, u_3)+\beta(v_1, v_2, v_3) \)  podemos reescribirla del modo  \(  (x, y, z)- (p_1, p_2, p_3) = \lambda(u_1, u_2, u_3)+\beta(v_1, v_2, v_3) \) , es decir, \(  (x - p_1, y - p_2, z - p_3) = \lambda(u_1, u_2, u_3)+\beta(v_1, v_2, v_3) \) o, equivalentemente, que \(  (x - p_1, y - p_2, z - p_3) \) es combinación lineal de los vectores u y v. Por lo tanto:  \[ det \begin{pmatrix} x - p_1 &u_1 &v_1\\y - p_2 &u_2 &v_2\\z - p_3 &u_3 &v_3  \end{pmatrix}=0 \]

Así obtenemos una única ecuación del tipo:  \( Ax+By+Cz+D=0 \), que llamaremos ECUACIÓN IMPLÍCITA O GENERAL DEL PLANO.

El vector \( \vec{n}=(A, B, C) \) es un vector ortogonal al plano y se le conoce como vector normal.